Rasyonel olmayan ölçüler

2
5503

Rasyonel olmayan sayılar (daha meşhur ismi ile “irrasyonel” sayılar) bir uzunluk ölçüsü olabilir mi?

“Oğlumun boyu karekök(2) metre” cümlesini kurmak ne kadar doğrudur?

Geçenlerde öğrencilerimle karekök(2) sayısının sayı doğrusu üzerindeki yerini tespit etmek hakkında konuşuyorduk. Bir kenarı sayı doğrusu üzerinde 0 ile 1 sayıları arasında olan bir kare çizip yarıçapı bu karenin köşegeni olan bir çember çizerek bu çemberin sayı doğrusunu kestiği yerin karekök(2) sayısının sayı doğrusu üzerindeki yeri olduğuna kanaat getirdik.

Karekök(2)'nin sayı doğrusu üzerindeki yeri
Karekök(2)’nin sayı doğrusu üzerindeki yeri

Bir öğrencimin aşağıdaki sorusu ve onu ikna etme sürecinden sonra egtmatematik ortamında bu yazımı paylaşmaya karar verdim.

Hocam! karekök(2) sayısının nasıl sabit bir yeri olabiliyor ki? karekök(2) sayısı 1,414213… şeklinde sürekli artmakta olan bir sayı değil mi? Sizin yaptığınız gibi karekök(2) için sayı doğrusu üzerinde bir yer belirlemek bir çelişki oluşturuyor sanki

Biraz da teknoloji desteği kullanarak bu durumu açıklığa kavuşturmaya çalışacağım. Sürçü lisan edersem affola!

Sayı türlerinin ortaya çıkmasındaki temel motivasyon “sayma” ihtiyacıdır. Doğal sayılar ile nesneleri sayarız. 3 portakal, 28 ceviz, 1265 ağaç gibi. “ölçme” ihtiyacını ise uzun bir süre rasyonel sayılar ile idare ederek gidermiştir insanoğlu. 1 br olarak karar verilen bir niceliğin tam katlarına denk gelmeyen nicelikleri ölçüsünü söylemek için 1 birimi b eşit parçaya ayırıp bunların a katını kullanmak zekice bir çözümdü. Bu sayede “1 birimin b’de birinin a katı” anlamında “a/b” rasyonel sayısı ortaya çıkmıştır. Rasyonel kelimesindeki “rasyo” Latince yazılışı ile “ratio” kelimesi oran, “rational” kelimesi de oransal anlamına gelmektedir. Bu sayıların negatiflerini kabullenmek matematik tarihinde göreceli olarak çok daha yenidir. Bu yazı da bundan bahsetmeyeceğim.

Rasyonel sayılarla karşılaştığı her niceliğin ölçüsünü söyleyebilen insanoğlu mesut bir şekilde yaşamaya devam ederken Pisagor (M.Ö. 600 – 500) ve arkadaşları, belki de kendilerinden öncekilerden daha hassas olmalarından dolayı, bir kaos ile karşılaştılar. Pisagor ve arkadaşları tam sayılara kutsallık atfeden bir tür inanç sistemi oluşturmuşlardı. Rasyonel sayılar da iki tam sayının oranı olmasından dolayı bu inanç sisteminde dışlanmıyordu. Ama bir karenin köşegenini kenarı cinsinden ölçmeye çalıştıklarında inançları ile çelişen ciddi bir kaotik durumla yüzleştiler. 1 birimlik uzunluğu karenin kenarı kadar olan bir ölçme aracının ne kadar çok eşit aralığa da bölseler, karenin köşegenini ölçemiyorlardı. Hâlbuki köşegen karşılarında duruyordu ve bir uzunluk ölçüsü olması gerekirdi.

Aşağıda ben sizin için elektronik bir ölçüm aracının verdiği farklı değerleri göstermeye çalıştım. Ölçmenin detayları için yazının altındaki videoyu izleyebilirsiniz.

irrasyonel2

irrasyonel3

irrasyonel4

1 birimin 12 eş parçaya ayrılması ile tam olarak köşegen uzunluğuna denk gelen bir ölçüm yapılabildiğini zannedebilirsiniz. Bunu bir de daha yakından bakarak inceleyelim;

irrasyonel5

Görüldüğü gibi, köşegen uzunluğunu bu değer de tam olarak ölçememiş. Muhtemelen M.Ö. 500’lü yıllarda bu kadar çaba bile kaosu hissetmek için yeterliydi. Ama biz biraz daha uğraşalım;

irrasyonel6

Sanırım yine daha yakından bakmak gerekiyor 🙂

41/29 ölçüsü de köşegen uzunluğunu tam olarak vermiyor. Son bir çaba daha (sonrasını videoda izleyebilirsiniz)

irrasyonel8

Bu da görünüşte oldukça yeterli bir ölçüm gibi duruyor değil mi? Daha yakından bakalım;

irrasyonel9

Teknoloji sayesinde, Pisagor ve arkadaşlarından çok daha hızlı ölçümler yaparak 1 br kenar uzunluğuna sahip karenin köşegenini ancak 58/41 =1,414634146341463…  olarak ölçebildik ama bu dahi karenin köşegenin tam ölçüsü değil.

Pisagor daha önce öğrendiği teorem sayesinde kenarı 1 br olan karenin köşegen ölçüsünü temsil eden sayının “karesi 2 olan sayı” olduğunu biliyordu. Muhtemelen yapılan ölçümlerin hatasını da, bizim yukarıda yaptığımız gibi teknoloji desteği sayesinde yapılan yakından bakma hamleleri yerine, sayının karesini aldığında tam olarak 2’yi elde edememelerinden anlıyorlardı. Bir ölçüyü iki tam sayının oranı olarak gösterememek Pisagor ve takipçilerinin inançları ile taban tabana zıt, ciddi bir kaostu. Bu kaosun Pisagorun öğrencilerinden Hippasus tarafından karesi 2 olan sayının iki tam sayının oranı, yani rasyonel olarak yazılamayacağını tümdengelimsel bir akıl yürütme ile ispatlaması sonrasında derinleştiği ve Pisagor’un emri ile Hippasus’un öldürüldüğü söylenir.

Bugün, karesi 2 olan sayılar gibi oransal olarak yazılamayan sayıların “oransal olmayan” anlamında “irrasyonel – irrational” olarak isimlendirildiğini biliyoruz. Yukarıdaki ölçme çabasında da fark edildiği gibi gerçek bir niceliğin ölçüsü olmasına, yani sayı doğrusu üzerinde bir yeri olmasına rağmen aklın kabullenmekte zorlandığı bu sayının tek suçu iki tam sayının oranı olarak yazılamamasıdır. Bu yüzden bu tür sayıları klasik tam sayı sembolleri (2, 3, 5, 156, 2947 gibi) ve bu sembollerin oranı olarak göstermek yerine (zira bu şekilde göstermeye kalktığımızda hiçbir şekilde tam karşılıklarını söyleyemiyoruz) özel semboller (karekök(2),karekök(5), pi gibi ) kullanırız.

Gelelim “oğlumun boyu karekök(2) metre” cümlesine. Oğlumun boyu henüz 1.40’lara ulaşmadı J ama boy uzunluğu sadece rasyonel sayılar ile ölçülecek değerlere atlayarak devam eden bir ölçü olmadığına, sürekli bir değişken olduğuna, göre günün birinde bu cümle muhakkak doğru olacak. Ama biz o anı muhtemelen fark edemeyeceğiz. Çevremizdeki birçok nesnenin uzunluk ölçüsü bir irrasyonel sayı olabilir ama tüm ölçüm aletlerimiz, ne kadar hassas olursa olsun, eş parçalama ilkesine göre hazırlandığından irrasyonel ölçüye sahip uzunlukları ölçemiyor, bunun yerine yaklaşık rasyonel karşılıklarını (veya bunların yaklaşık ondalık açılımlarını) kullanıyoruz. Ancak, sentetik geometri yöntemleri ile irrasyonel ölçüye sahip nicelikleri elde edebilir ve çeşitli ölçülerin irrasyonel sayılar ile temsil edildiğini tümdengelimsel yöntemlerle ispatlayabiliriz. Unutmayalım ki irrasyonel sayılar da en az 2, 3, 15, 2487, 2/5, 7/3 vs kadar reeldir.

egtmatematikBanner
TEILEN
Önceki İçerikMatematiğe Karşı Pozitif Duygular Geliştirmek
Sonraki İçerikNeden Matematik Öğreniriz?
Pamukkale Üniversitesi, Eğitim Fakültesi'nde matematik eğitimi çalışmalarını sürdürmekte olan Doç. Dr. Tolga KABACA, 1998 yılında Marmara Üniversitesi, Matematik öğretmenliği bölümünden lisans, 2001 yılında aynı üniversitede Matematik Eğitimi alanında Yüksek Lisans, 2007 yılında da Gazi Üniversitesi'nde Matematik Eğitimi alanında Doktora derecelerini almıştır. Matematik eğitiminde teknoloji'den yararlanma ve bilgisayar ortamında matematik kavramlarının simülasyonu üzerinde çalışmaktadır.

2 YORUMLAR

  1. Yaptığınız çalışmaları ilgiyle takip ediyoruz ve başarılarınızın devamını diliyoruz. Ancak kafamıza takılan bir soru var. Acaba karekök değil de küpkök sayıları sayı doğrusu üzerinde gösterebilme imkanımız var mıdır, ne dersiniz?

CEVAP VER

Please enter your comment!
Please enter your name here