Problemin Kökü

0
3706

Mutlak değer fonksiyonu karekök sorularını daha iyi çözebilmenin kapılarını açar.

Karekökler cebir derslerinde birçok örnekte ortaya çıkar. Örneğin, Mathematics Assessment Resource Service’ ta (MARS) “Denklemleri ve Özdeşlikleri Sınıflandırın” başlıklı aktiviteye bakın. Bu aktivite öğrencilere herhangi bir denklemin her zaman mı doğru, bazen mi doğru yoksa kesinlikle mi yanlış olduğunu sorsun. Bir örnek (yani 10. kart) öğrencilere bu denklemin hangi kategoriye girdiğini sorsun. (x-6) ^{2} = (6-x) ^{2}

(x-6)(x-6) = (6-x)(6-x)

 x^{2}-12x + 36 = 36 - 12x + x^{2}

0 = 0

(her zaman doğru)

Bununla birlikte yakın zamanlardaki bir derste aşağıdaki işlemleri gördüm:

(x-6) ^{2} = (6-x) ^{2}\sqrt{(x-6)^2} = \sqrt{(6-x)^2}

(x-6) =(6-x)

x =12 - x

2x = 12

x = 6

Bazı öğrenciler bu denklemi “her zaman” doğru olarak sınıflandırırken bazıları da hatalı cebirsel işlemlerden dolayı bu denklemi “bazen doğru” olarak sınıflandırdı. Bu öğrenci grupları 6′ dan başka bir değeri denklemde yerine koydukları zaman her iki tarafın da eşit olduğunu kabul ettiler ama öğrenci gruplarının hiçbiri cebirsel hatanın nerede yapıldığını bulamadı. O zaman burada gerçekten neler oluyor?

Bu makale problemin kökünün anlaşılması ile ilgili bir tarih kaydıdır. Yeni bir öğretmen olarak aşırı genellemelerimin yukarıdaki hatalı işlemle başedebilmem konusunda beni nasıl aciz bıraktığını açıklayacağım. Aynı zamanda benzer cebirsel karışıklıkların meydana geldiği diğer durumları da göstereceğim. Öğrencilerin algılanan anlam kargaşasını anlamalarına yardımcı olmak için öğretmenler olarak bizlere cebirsel işlemleri daha doğru ifade edebilmeyi öneriyorum.

En başta, aşağıdaki cevaplar arasındaki yapısal benzerlikleri ve farklılıkları belirleterek okuyucuları zorlayacağım.

  1. Verilen işlemin sonucunu bulunuz: √9
  2. 9′ un tüm kareköklerini bulunuz.
  3. x2 = 9 için x’ in alabileceği değerleri bulunuz.
  4. |x| = 3 için x’ in alabileceği değerleri bulunuz.

Bunlar aynı soruyu mu soruyor? Cevaplar aynı mı? 4. soru diğerleriyle nasıl bağlantılı?

Bunlar arasındaki yapısal benzerlikleri ve farklılıkları anlayabilmek için -ve onların doğru cevaplarını- tersinmez süreçlerin kavramsal anlayışına sahip olmanın yanı sıra matematiksel kuralı anlamalıyız. Herhangi birinin eksikliği öğrencilerin ortak çekirdek (Common Core) matematik müfredatında ilerlerken hiç durmadan tökezlemelerine neden olacak.

MATEMATİKSEL BİR KURAL: TEMEL KAREKÖK

Sık sık gözden kaçan korkulan 1. soru ile başlayalım. Karekök sembolü gerçekten neyi temsil eder? √9 un kökten çıkmış hali 3 mü yoksa ±3 mü? Roach, Gibson ve Weber (2004) üniversitede stajyer öğretmenleri de içeren matematik bölümü öğrencilerine aynı soruyu sordular. Onların deneylerindeki ve benim sınıfımdaki birçok öğrenci cevabın sadece pozitif 3 olduğunu öğrendiklerinde çok şaşırdılar. Karekökün tanımları ve temel karekök arasındaki ayrım bazen karışıklığa neden olabilir.

Karekökün tanımını hatırlayalım: r gibi bir sayının karekökü x= r olacak şekilde herhangi bir x sayısıdır. Örneğin biliyoruz ki 32 = 9 bu nedenle 3, 9′ un karekökü olmalıdır. Bununla birlikte (-3)= 9 dur bu nedenle -3 te 9′ un bir karekökü olmalıdır. Aslında öyledir. 3 ve -3 olmak üzere 9′ un iki gerçek kökü vardır – bu da 2. sorunun cevabıyla aynıdır. O zaman 9′ un iki tane gerçek kökü varsa √9 u kökten dışarı nasıl çıkartırız?

Karekök sembolü ya da kök işareti temel karekök diye adlandırılan matematiksel bir kuralı temsil eder. Temel karekök negatif olmayan bir gerçek sayının negatif olmayan tek bir kareköküdür. Bu nedenle 1. soruda sorulan √9 un kökten çıkmış hali 3′ tür, çünkü 3, 9′ un pozitif kareköküdür. Bu matematiksel kural sayesinde -temel karekök- bir fonksiyonun karekökünün f(x) = √x, tanım kümesinin içindeki herbir girdi için kesinlikle bir çıktı vardır ve bu nedenle iyi tanımlanmıştır. Şimdi 1. ve 2. soru arasındaki ayrımı netleştirdik. 3. soruya geçelim.

ASIRI BİR GENELLEME Mİ? KESİNLİKLE.

Yeni bir öğretmen olarak bu yolu bildiğimi düşünmüştüm. Bu genellemeyi yaptım: Ne zaman cebirsel bir işlemdeki bir karekök sembolünü anlatsam aynı zamanda her iki kökün de bulunduğundan emin olmak için artı-eksi işaretlerinden de bahsetmem gerekir. Bu yolu izlersek √9 un kökten çıkmış hali 3 olabilir. Nedeni de 1. soruda karekök sembolünün kullanılmasıydı. 3. soruyu çözebilmek için karekök sembolünü de kullanmam gerekiyordu. Genellememi takip ettiğim için karekök sembolüyle beraber artı-eksi işaretini de kullanmam gerekiyordu. Bu ±√9 u elde edebilirim anlamına gelir ve bu nedenle çözümlerim +3 ve -3 tü. Bu genelleme nasıl karmaşıklığa neden olabilir?

3. soruyu biraz daha yakından inceleyelim, tipik bir 8. sınıf sorusu: x2 = 9 için x in değerini bulunuz (bkz 8.EE.A.2, CCSSI 2010, s. 54). Her şeyden önce bu örneğin tam olarak doğru olmayışının bulunması karışıklığa neden olabileceğini açıklayacağım. Aşağıdaki üç cebirsel işlemi bir düşünün:

Örnekler

Sonuçlar aynı, bunun için bu üç cevaba hızlıca bakmak birine işlem süreçlerinin de aynı olduğunu düşündürebilir. Bununla birlikte daha da yakından incelendiğinde 2. örneğin ikinci satırının yanlış olduğu anlaşılacaktır. Küçük bir şey gibi görünmesine rağmen bu hata öğrencilerde 1. soruda sorulan kökten çıkmış halini bulmadaki gibi kafa karışıklığına neden olacaktır. Örnek B’ de gösterilen cebirsel işlem bizi doğru olmayan bir şeye yani √9 un aslında +3 ve -3 e eşit olduğuna inandırır. Örnek A matematiksel olarak doğru olmasına rağmen buradaki cebirsel işlemlerde detayın tam verilmemesi karışıklığa neden olabilir. Örnek C birçok test kitabında gösterilen bir cebirsel işlemdir. Örnek C teknik olarak doğru olmasına rağmen onun cebirsel sürecin bir aşırı genellemesi olduğunu öne sürüyorum.

Eğer öğrenciler kareköklerle ilgili başlıca şeyleri ve onların cebirsel işlemlerdeki rolünü anlamazlarsa ortak çekirdek matematik müfredatının (CCSM) cebir kısmında ilerlerken onlar için bir sürü engel ortaya çıkacaktır. Öyleyse karekökü bir aşırı gemelleme olarak tanıtırken artı-eksi işaretlerinin kullanıldığı bir süreçten bahsetmek nasıl bir şey olur?

Bu cebirsel süreç 3. sorudaki gibi birçok durumda doğru bir sonucu vermesine rağmen,  tüm durumlarda işe yaramaz. Aşağıdaki eşitsizlik problemini düşünün: x2 > 9 için x’ in değerini bulunuz (bkz HSA.REI.B.3, CCSSI 2010, s. 65). Öğrenciler tarafından sıkça yapılan hatanın bir örneği aşağıdaki gibidir:

x2 > 9

x > ± √9

x > ± 3

Genellikle, ben öğrencilerden çözüm kümesini sayı doğrusu üzerinde göstermelerini isteyene kadar hata fark edilmez. Yukarıda öğrenciler tarafından yapılan işleme göre x = 1 için bir çözüm var; bununla birlikte hızlıca yapılan bir kontrol bunun aksini gösterecektir. Bu noktada birçok öğrenci bu tutarsızlığın doğru olduğunu göstermeye çalışacaktır; ayrıca birde eşitsizlik işaretlerini döndürmek ile ilgili kurallar var, doğru mu? Hatırlanmama olasılığı yüksek olan cebirsel kurallara güvenmek yerine, öğrencilerden koordinat düzlemindeki bir fonksiyon olarak ilk eşitsizliğin her iki tarafındaki ifadenin grafiğini çizmelerini istiyorum (fig. 1′ e bakınız). Roach, Gibson, and Weber (2004) tarafından önerilen bu grafiksel yaklaşım öğrenciler için daha ikna edici olabilir. Bununla birlikte öğrenciler genellikle cebirsel hatalarının nerede olduğunu merak ederler. Bu genellemenin aslında -cebirsel bir işlem sırasında karekök sembolünü anlatırken artı-eksi işaretlerinden de bahsetme- aşırı bir genelleme olduğu görülüyor.

pp 98-103 Root of Problem_12Fig. 1 Bu grafik bağımsız fonksiyonlar olarak çizilen eşitsizliğin iki açılımı. f(x) > g(x) olacak şekildeki x değerleri {x > 3 ve x < -3}.

x2 > 9

√x2 > √9

|x| > √9

|x| > 3

x > 3 veya -x > 3

x > 3 veya x < -3

Bu çözüm cebir derslerinde çok nadir anlatılan kareköklerin önemli bir özelliğini vurguluyor- yani √x2 = |x|. Karekökleri kullanırken bu yaklaşım genellikle gözden kaçar ve tek neden Pisagor teoremini içeren problemler gibi diğer uygulamalarda da bunun vurgulanmayışı olabilir. 8. sınıf öğrencilerinden bilinmeyen kenar uzunluklarını bulmaları beklenir. Bu bilinmeyen kenar uzunlukları genellikle uzaklığı temsil eder, bu nedenle negatif bir çözüm bir şey ifade etmez. Birçok ders kitabında bu konu gösterilmez ve öğrencilere temel kök verilir.

MUTLAK OLMANIN AVANTAJLARI

Mutlak değeri kullanmak yerine artı-eksi işaretini içeren genelleme yapıldığı için çıkan zorluklar, öğrenciler Cebir 2′ de daha karışık olan ikinci dereceden denklemleri çözerken de çıkmaya devam eder (bkz see HSA.REI.B.4, CCSSI 2010, s. 65).

Aşağıdaki örneğe bakın: 8 = (x-3)2 için x’ i bulunuz. Sadece artı-eksi işaretlerini içeren bir kuralı takip eden öğrenci büyük olasılıkla bir çok tuzağa düşer. Bir öğrencinin ±√8 = (x-3)’ e kadar geldiğini varsayalım. Cebir 2 seviyesinde mümkünse öğrencilerden karekökleri sadeleştirmesi beklenir; bunun için bir öğrenci 8′ i 2 x 4 olacak şekilde ayırabilir. Başka bir karekökü de kullandıklarından dolayı artı-eksi işaretini tekrar kullanıp kullanmayacakları konusunda şüpheye düşerler – örneğin ±√4 ±√2 = (x-3). Bu öğrenciler bu yaygın yöntemi kullanırlar ama problemi nasıl çözeceklerine dair başlıca şeyleri anlamadan ve büyük ihtimalle daha karışık bir şekilde bitirirler.

Süreçteki karışıklık sadece karekök problemlerine özgü bir şey değil ama diğer n. dereceden karekök problemlerine kadar uzanır. Aşağıdaki problemi bir düşünün: (x-3)= 16. Bu problem de birçok ilginç cevapla karşılaştım. Cebirsel kısayolları kullanan -problemin sonunda artı-eksi işaretini ekleyen- öğrenciler hatalı bir biçimde x = ±5 i bulabilirler. Genellikle öğrenciler x – 3 = ±2 sonucuna varırlar ve artı-eksi işaretlerinden dolayı sadeleştirerek nasıl ilerleyeceklerini bilmezler. Hesaplamalarını bitirerek x = 1, x = 5 sonucuna ulaşan öğrenciler sonradan ± yi eklerler ve x = ± 1, x= ± 5 sonucuna varırlar. Öğrenciler dördüncü dereceden bir polinomun dört tane kökü olduğunu bildiklerinden dolayı bunun doğru olduğunu göstereceklerdir. Tekrar, grafikle gösterme öğrencilerin kaygılarıyla baş etmelerine ve (fig. 2 ye bkz.) ve iki gerçek çözümün de değerlerini görmelerine yardımcı olmak için güçlü bir araç olabilir. Artı-eksi işaretleri yerine mutlak değer ile işlem yapmak bu çözümlere cebirsel bir yaklaşım getirir.

pp 98-103 Root of Problem_18Fig. 2 (x-3)2 = 16 denkleminin iki gerçek çözümü x = 5 ve x = 1 dir.

TERSİNMEZ SÜREÇLER

Bu gibi problemlere neden olan bu özel durumların doğasında ne var? Bu tip endişeler uyandıran karekök ve diğer n. dereceden köklere ait bu özel şey nedir? Bu değerlendirmelerin çoğu matematik müfredatındaki birleştirici konulardan biriyle açıklanabilir -fonksiyonlar (NCTM 2000). Yapılan araştırmalarin çoğu öğrencilerin fonksiyonlarda zorlandıklarını ve bu konuda kavram hatalarının olduğunu göstermiştir (bkz. Harel and Dubinsky 1992). Öğrencilerin zorluk yaşadığı bir kavramda tersinmez süreçlerdir-yani tersleri olmayan fonksiyonlar. Karesini alma bu tersinmez süreçlerden bir tanesidir.

Bir sayının karesini alırsak ve sonrada karekökünü alarak bu süreci geri almaya çalışırsak, asıl sayıyı belirleyemeyiz. Örneğini ben size bir sayının karesini aldığımı ve sonucu 9 bulduğumu söylesem, benim asıl sayımın 3 mü yoksa -3 mü olduğunu bilmenizin hiçbir yolu yoktur. Bu bilmece bizi 1. soru ve 3. soru arasındaki farka tekrar götürür. Öğrencilerin karekök fonksiyonunu ve bir fonksiyonunun karesinin tüm x değerleri için tersinir olmadığını anlaması çok önemlidir. Bu karekök çalışırken genellikle gözden kaçan kısımdır. Öğrencilerin temel kökteki matematiksel kuralın nedenini anlamaları da önemlidir. Bu kural n. dereceden köklü bir fonksiyonun tanım kümesindeki her girdiye karşı bir çıktı olmasını sağlar.

Öğrenciler Denklemler ve Eşitsizlikler ile Muhakeme için cebir kazanımlarında ilerlerken öğrencilerden konuya ait olmayan çözümlerin nasıl ortaya çıktığını gösteren örnekleri vermelerinin yanı sıra yukarıdaki örnekteki gibi tek değişkenli köklü denklemleri çözmeleri beklenir.

YANLIŞ ANLAŞILANLARI ANLAMA

Ortak çekirdekteki matematik kazanımlarına göre öğrencilerden okuldaki matematik derslerinde sayı sistemlerini, matematiksel ifadeleri, denklemleri ve fonksiyonları öğrenmeleri beklenir. Örneğin öğrenciler denklemin her iki tarafını da aynı şeyle toplayabileceklerini ve böyle yaptıklarında bunun eşitliği etkilemeyeceğini öğrenirler, bununla birlikte her iki tarafında karesi alınırsa bu alışılmadık sonuçlar doğuracaktır. Örneğin makalede gösterilen durumların anlaşılması için öğretmenler olarak biz öğrencilere karekökler ve tersinmez süreçler ile ilgili doğru temel bilgileri vermeliyiz. Bu nedenle cebir öğretmenlerinin bu ilişkiyi vurgulamaları önemli: √x2 = |x|.

Yeni bir öğretmen olarak, karekökü içeren problemler ile ilgili benim aşırı genellememden dolayı öğrencilerin hatalı işlemlerini açıklayamadım. Bu örneğe tekrar dönersek ve uygun mutlak değer sembollerini eklersek, çözüm güzel bir şekilde ortaya çıkacaktır. Öğretmenler olarak biz kendi cebirsel işlemlerimizi ve açıklamalarımızı yaparken daha dikkatli davranarak ve öğrencilerden de aynı doğruyu bekleyerek öğrencilerimize yardımcı olabilliriz. İlk önce artı-eksi işareti küçük bir şey gibi görünmesine rağmen öğrenciler cebir müfredatı boyunca ilerlerken onların yanlış anlamalarına sebep olacaktır. Öğretmenler olarak bizim bu yanlış anlaşılmaların ne zaman olabileceğini, neden meydana geldiklerini ve öğrencilerin bu durumları anlamalarına nasıl yardımcı olacağımızı bilmemiz gerekir.

REFERANS

Common Core State Standards Initiative (CCSSI). 2010. Common Core State Standards for Mathematics. Washington, DC: National Governors Association Center for Best Practices and the Council of Chief State School Officers. http://www.corestandards.org/wp-content/uploads/Math_Standards.pdf

Harel, Guershon, and Ed Dubinsky, eds. 1992. The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy.Washington, DC: Mathematical Association of America.

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). 2000. Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM.

Roach, David, David Gibson, and Keith Weber. 2004. “Why Is Square Root of 25 Not Plus or Minus 5?”Mathematics Teacher 97 (1): 12–13.

“Sorting Equations and Identities.”Mathematics Assessment Resource Service (MARS).http://map.mathshell.org/materials/download.php?fileid=688

DANA L. GROSSER-CLARKSON, dgrosser@umd.edu, is a doctoral candidate at the Center for Mathematics Education at the University of Maryland in College Park. Her research interests include practiced-based teacher preparation, classroom discourse, algebraic thinking, and lesson study.

Kaynak

  1. http://www.nctm.org/Publications/Mathematics-Teacher/2015/Vol109/Issue2/The-Root-of-the-Problem/
  2. http://thumbs.dreamstime.com/z/cartoon-teacher-thought-bubble-52961860.jpg
  3. Görseldeki açıklama Güvender Yayınları 8. Sınıf Konu Anlatımlı Matematik kitabından alınmıştır.
vexrobotics
TEILEN
Önceki İçerikOrtaöğretim Yönetmeliğinde Yazılı Sınavlar
Sonraki İçerikSTEAM İLE TAM YOL İLERİ: STEM Eğitimi’ nde Sanat Neden Önemlidir?
1990 yılında Mersin' in Tarsus ilçesinde doğdu. 2012 yılında Çukurova Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü' nü tamamlayarak lisans, 2014 yılında Bilkent Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü' nde MA in Curriculum and Instruction with Teaching Certificate programını tamamlayarak yüksek lisans derecesini aldı. Lisans ve yüksek lisans dönemi boyunca yurt içi ve yurt dışında çeşitli okullarda öğretmenlik deneyimini elde etti. Matematik öğretmeni olarak görevine devam etmektedir.

CEVAP VER

Please enter your comment!
Please enter your name here

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.