Neden Matematik Öğreniriz?

3
8087

Başlıktaki soruya cevabım “ Halk, neden matematik eğitimini bu kadar önemsiyor?” sorusunun cevabıyla birlikte gelecek.

Bir yanlış anlaşılma olmaması adına şu açıklamayı yapmam gerekiyor.“Matematik” derken cebir, trigonometri, kalkülüs, lineer cebir vb konuları, kısaca aritmetiğin biraz daha ötesindeki konuları kastediyor olacağım. Aritmetiğin neden öğrenildiğini ya da neden halk tarafından öğrenilmesi gerektiği düşünülen bir şey olduğu konusunda hiç kimsenin aklında bir soru olduğunu düşünmüyorum. Toplum aritmetik olmadan gelişemez. Toplama, çıkarma, çarpma, bölme, yüzdeler… Toplumdaki bazı bireylerin aritmetikte çok iyi olmamasına rağmen bu kişilerin zamanı geldiğinde aritmetik yapabileceği gibi bir varsayımda bulunulur. Aritmetik yapamayan kişiler kimi zaman zorda kalır.

Diğer yandan cebir ise bambaşka bir şeydir. Toplumdaki neredeyse her bir birey, okul bittikten sonra cebir olmadan hayatını gayet iyi bir şekilde sürdürebilir. Bununla beraber, cebir, ortaokuldan itibaren giderek daha fazla müfredatlara sızar ve liseden mezuniyet için giderek daha fazla talep edilen bir şey haline gelir. “Herkesin hayatında belli bir süre cebirle tanışması ve boğuşması gerek” gibi yazılı olmayan bir kural vardır.

İçinde yaşadığımız dönemi, evrensel matematik eğitimi dönemi olarak adlandırabiliriz. Bu durum aslında Dünya’da yeni bir şeydir. Matematik, yeni gelen neslin eğitiminde hiç bir zaman bu kadar yer kaplamamıştır. Eski Mısır’da ya da Babil’de kaç çocuğun sayılarla ilgili bir eğitim aldığını sormamıza gerek yoktur çünkü olabildiğince azdır. Eski medeniyetlerde eğitim denilen şey herkes için değildi. Doğal olarak matematik eğitimi de bundan nasibini alıyordu. Edebiyatta evrensel değildi. O zamanlarda okuma yazma bilen birinin çarpma ya da çıkarma yapabildiğinden oldukça şüpheliyim. Antik yunanlılar gerçek anlamda matematik yapıyorlardı fakat bunu öğrencileri bir sınıfa tıkıp, teoremlerin nasıl ispatlanacağını göstermek için yapmıyorlardı. Onlara kıyasla antik romalılar matematiksel anlamda tam bir boşluktu. Roma’nın çöküşünden sonra cebiri geliştirmeye başlayan Arap bilim adamları bunu sadece kendi zevkleri için yapıyorlardı, büyük kitleler için bir şeyler yapmaya çalışmıyorlardı. Brahmagupta, Pell doğmadan yaklaşık 1000 yıl kadar önce Pell denklemlerini çözerken aklında öğrenciler yoktu. Bütün bu örnek olarak verdiğim toplulukların çok eskilerde kaldığını söyleyebilirsiniz. Modern zamanlarda artık biz daha iyi öğreniyoruz ve aritmetik artık herkesin eğitiminin bir parçası değil mi?

Aslında tam olarak öyle değil. Mesela koloni dönemindeki Amerika’da aritmetik, ilköğretim eğitiminin bir parçası değildi. A History of Mathematics Education in the United States and Canada‘da (National Council of Teachers of Mathematics, 1970) şöyle bir metin geçer:

Heceleme, okuma ve yazma dışında ilköğretimde başka çalışmalara bir kaç yıl dışında izin verilmemiştir. Aritmetik az sayıda öğretmen tarafından haftada 1 ya da 2 kez öğretilmiştir. Fakat aritmetik, bütün karşı çıkışlara rağmen günümüzde günlük derslerin bir parçası haline gelmiştir.

Aritmetiğe karşı çıkış! Nasıl böyle bir şey mümkün olabilir ki? Aritmetik olmadan nasıl sürekli gelişen bir toplum olabilir ki? Görünen o ki böyle bir toplum olmuş ve gayet iyi bir şekilde devam etmiş. Aslında aritmetik bir çok meslek dalında ihtiyaç duyulan bir şeymiş ve insanlar ihtiyaç duyulan aritmetiği o mesleği yaparlarken öğreniyorlarmış.

Aritmetik bir şekilde müfredata girmeyi başarmış fakat işverenler okulların dönüştüğü şeyden hiç memnun değillermiş. Patricia Cline Cohen, A Calculating People: The Spread of Numeracy in Early America adlı değerli kitabında şöyle yazmıştır:

Bu hareketten (1789) önce aritmetik, Boston okullarında talep edilen bir şey değildi. Bir kaç yıl içinde bir grup Boston’lu iş adamı, okul komitesini, aritmetik dersi alan öğrencilerin almayanlara göre iş hayatına hazırlıksız oldukları gerekçesiyle protesto etmişlerdir. Fakat maalesef eğitimciler yaptıkları işin yeterli olduğunu ve programlarında herhangi bir değişiklik yapmayacaklarını belirtmişler.

Aslında her iki taraf ta kendi açısından haklı. Herkesi olası her işe hazırlamak imkansızdır ve bunu denemek boşuna bir çabadır. Bu yüzden okuldan ayrıldıktan sonra bir çok kişi iş hayatına hazırlıksızdır. Diğer yandan matematik öğretmenleri, şu an da olduğu gibi, yeterli bir iş yapmaktadır.

Bir kaç yıl önce Florida Ulaşım Departmanı’nın (Florida Department of Transportation, DoT) matematiği kendi alanında nasıl kullandığıyla ilgili bir toplantıya katılmıştım. Florida Ulaşım Departmanı matematiği oldukça fazla yerde kullanıyordu. Örneğin, ulaştırma departmanı Riemann toplamlarını düzgün olmayan arsaların alanlarını belirlemek için kullanıyordu. Toplantının sonunda konuşmacıya DoT’un yeni işe alımlarda işe başvuranlardan ne kadar bir matematiksel birikim beklediğini sordum. Hiç bir birikim beklemiyorlarmış. DoT yeni çalışanlarının basit aritmetik dışında başka bir şey bilmediğini varsayıyormuş. Çalışanların gerekli olan diğer konuları işte çalışırken öğrenebileceklerini düşünüyormuş.

Çalışma hayatında ve günlük hayatta cebirin de gerekli olduğu gibi bir hayalin Dünya üzerinde yayılmaya başladığını görüyorum. Moving Beyond Myths (National Academy of Sciences, 1991)’te şöyle bir metin vardır:

Efsane: Çoğu iş biraz matematik gerektirir.

Gerçek: Gerçek bunun tam tersidir.

Yukarıda söylenen önerme için bu makaleye çok dikkatli bir şekilde baktım fakat yukarıdaki önermeyi destekleyici hiç bir kanıt göremedim. Belki de Ulusal Bilimler Akademisi (National Academy of Sciences, NAS) matematikle aritmetiği bir tutuyordu. Bir çok insan bunu böyle sanır. Matematiği hayatlarında kullanıp kullanmadıklarını ya da kullanıyorlarsa nasıl kullandıklarını sorduğumda bana her zaman anlattıkları “matematik”, okulun ilk sekiz yılında anlatılan matematikti.

Everybody Counts’ta (National Research Council, 1989) ise cebirden özel olarak bahsedilmiştir:

Günümüzdeki mesleklerin % 75 inden fazlası, ya bir eğitimin ön koşulu olarak ya da lisanslanma sınavının bir parçası olarak, basit cebir ve geometri bilgisi gerektirir.

Yukarıdaki önermeyi oldukça iddialı bulduğum için odamda duran sarı sayfalar kitabını aldım, rastgele bir şekilde açtım ve gördüğüm ilk altı meslek kategorisini listeledim:

Temizlik Görevlisi, Temizlik Görevlisi Malzemeleri Tedarikçisi, Kuyumcu, Karate ve diğer Savunma Sanatları, Etiketleme Sektörü, Avize ve Gölgelik Satışı.

Şimdi bu yukarıda saydığım altı meslekten hangisinde cebir gerekiyor ya da hangisinin lisansı ya da eğitimi cebir gerektiriyor? Tekrar NRC’nin (National Research Council) yayınında bu önermeyi destekleyici bir kanıt aradım fakat bulamadım. Bu gibi yayınlarda hiç bir kanıt bulamamın nedeninin gerçekte hiç bir kanıta ihtiyaç duyulmaması yüzünden olması gerekir sanırım: Sonuçta herkes cebirin her tür meslekte işe yaradığını bilir! Mesela, size önümde duran bir cebir kitabından bahsedeyim. Bu cebir kitabının yayıncısına göre bu kitap elektronik, kimya mühendisliği, polislik, hemşirelik, öğretmenlik ve daha bunun gibi bir çok meslek için açıklamalar, örnekler, alıştırmalar ve cevaplar içeriyor. Ayrıca bu kitap, röportajlar ve iş alanlarında yapılan market araştırmaları yardımıyla mesleki yetenekler ile kitabın bölümleri arasında öğrencilerin bir ilişki kurmasını sağlıyor. Böylece öğrencilere iş başvurusunda kolaylık sağlıyor.

Kitabın bu özelliklerini duyunca kitabı incelemek üzere yayıncıdan hemen bir kopya istedim. Kitabın yayıncısı zarif bir şekilde kitabı bana gönderdi. Yayıncının bu nazik hareketi karşılığında yayıncının ve kitabın yazarının adlarını gizli tutmaya karar verdim. Kitaptaki sorulardan bir tanesi şu şekildeydi:

Salt Lake’teki 2002 Kış Olimpiyatlarına hazırlanmak için bir kaç kişi Salt Lake’te kalmak için 4 odalı, 2 haftalık kirası 12000 TL olan bir evi, kirayı eşit bir şekilde paylaşmak için anlaşıyorlar. Bir süre sonra bu gruptan iki kişi evin küçük olduğu gerekçesiyle bu anlaşmadan çıkıyor. Geriye kalan kişiler kira için 300 TL fazladan ödemek zorunda kalıyorlar. Grupta son durumda kaç kişi vardır?

Kitaptaki bu soruda hangi kariyer fırsatı hedeflendiği belirtilmemiş. Ayrıca bu soruyu çözmek için verilebilecek en iyi cevabın gruptan birini bulup kaç kişi olduklarını sormak olduğundan da bahsedilmemiş. Halbuki böyle yapılsaydı cevap hemencecik bulunurdu. Soru sorduğumuz gruptaki o kişi eğer düzgün cevap vermezse düzgün cevap verene kadar bir güzel dövülebilirdi.

Ben bu problemin kötü bir problem olduğunu söylemiyorum. Bu problem aslında güzel bir problem, öğrencilerin gerçekten de çözmesi gereken problemlerden biri. Öğrencilere bir çok problem çözdürülmeli. Ne kadar çok çözerlerse o kadar iyi. Fakat bu problemleri çözmelerinin nedeni iş olanaklarını arttırmak olmamalı.

Yine yayıncısının ve yazarının adını vermeyeceğim, üçüncü baskısında olan bir başka kitapta kitabın hedefini matematiğin aslında herkese yararlı olduğunu göstermek olduğu belirtilmiştir. Ayrıca kitabın yazarı, bu kitap sayesinde öğrencilerin pratik problemler çözerken kendilerini daha güvenli hissedeceğini umduğunu söylemiştir. Şimdi o pratik problemlerden birine bakalım:

Bir yatırım firması herkesin eşit olarak ödeyeceği 9000 TL değerinde devlet tahvili almaya karar vermiştir. Fakat bu firmadan iki kişi firmadan ayrılmıştır. Diğerleri 50 TL daha fazla ödemek zorunda kalmıştır. Bu firmada kaç kişi vardır?

Kariyer olanakları vaat eden birinci kitaptaki soruyla bu sorudaki benzerliği görebiliyor musunuz? Bu iki problem birbirlerinin aynısı. Sadece sayılar değişmiş. Birinci problem ne kadar iş olanaklarını arttırıyorsa ikinci problem de o kadar pratik. Bu problemin- ki tekrar söylüyorum, bu problem öğrencilerin çözmesi gereken problemlerden biridir- birden fazla kitapta yer almasının nedeni muhteşem bir problem olmasıdır. O kadar muhteşem ki, bir yazardan diğer yazara yüzlerce yıldır kitaplarda karşımıza çıkmaktadır. Eğer öğrencilerin ikinci dereceden denklemleri çözmesini istediğiniz bir problem istiyorsanız alın işte size bir problem.

İş hayatında cebir kullanımıyla ilgili araştırmaya devam ettim fakat her seferinde hayal kırıklığına uğradım. Daha açık olmak gerekirse, cebirin iş hayatında hiç kullanılmadığına ikna olana kadar sürekli araştırma yaptım. Bu yazıyı yazmak için bir kez daha araştırma yaptım ve karşıma bir web sitesi çıktı. Web sitesi, lisede gösterilen cebirin iş hayatındaki uygulamalarını göstermeyi amaçlıyordu. O uygulama örneklerinden biri aşağıdaki gibiydi:

Küçük bir kasabada hizmet müdürüsünüz. Kasabada 400 km lik karla kaplanmış yolunuz var ve makinelerle o karın kaldırılması gerekiyor. Makineler saatte 7 km çalışabiliyorsa, işi bir günde bitirebilmek için kaç tane makineye ihtiyacınız vardır?

Bu problem de kitaptaki sorular gibi uydurulmuş bir “uygulama” örneğidir. Hatta problemin bir gerçekçiliği de yok. Hangi kasabada 400 km uzunluğunda yol olur ki? Hizmet müdürü kaç tane makinesi olduğunu bilir ve eğer gerekiyorsa kaç tane makineye daha ihtiyacı olacağını kestirebilir.

Günlük yaşantımızı iş yerlerinde çalışanların cebir problemi çözme kabiliyetlerine dayanarak sürdürmüyoruz neyse ki. Çünkü, her matematik öğretmeninin bileceği üzere, öğrenciler kimi zaman problemi doğru anlamayabilir. En iyi on üniversitenin birinin rektörü, muhtemelen kötü bir günün sonunda, bir matematik öğrencisinin, doğru düzgün tek bir matematik problemini düzgün bir şekilde çözmeden mezun olabileceğini gözlemlemiş. Bu olay, bir çok insan tarafından matematik eğitiminin altın çağı olarak adlandırılan 1950 lerde olmuş.

Matematik başarısını ölçen uluslararası sınavların birinde şöyle bir soru vardı:

Hangi dergi daha ucuzdur?

(a) 24 sayılık dergi. İlk dört sayı ücretsiz. Sonraki sayıların tanesi 3 $.

(b) İlk altı sayı ücretsiz. Sonraki sayıların tanesi 3.50 $.

Bu soru zor bir soru değil. Dolayısıyla çözümünü size bırakıyorum. Sorunun kolay olması bir yana, bu sınava giren Amerika Birleşik Devletleri’nde sekizinci sınıf öğrencilerinin %26 sı bu soruyu doğru cevaplayabilmiş. Bu oran, sınava giren ülkelerin oranı olan %24 ten daha fazla. Japonya’da ise sekizinci sınıf öğrencilerinin %39 u bu soruyu doğru cevaplamış. Bu sekizinci sınıf öğrencileri yetişkin olduklarında problem çözme konusunda daha iyi olacaklar elbette. Öyle bile olsa, bu öğrencileri yanlış çözüldüğünde bana zarar verecek problemlerle karşı karşıya bırakmazdım.

İnsanlar cebiri her gün veya her ay kullanmadıklarını bilseler bile bir çoğu başkalarının cebiri hayatlarında kullandığını düşünüyor. Belki de kitap yazarlarının aslında kitaplarında hiç olmamasına rağmen “cebirin gerçek hayat uygulamaları vardır” ısrarlarına ikna olmuşlardır. Gerçekten de kitap yazarları cebirin gerçek hayat uygulamalarını merak ediyorlarsa gördükleri bir kaç kişiye işlerinde cebir kullanıp kullanmadıklarını sorabilir. Daha sonra bu uygulamaları problem haline getirebilir ve kitaplarına koyabilirler. Eğer gerçekten de şu an ki mesleklerin %75 i cebir bilgisi gerektiriyorsa konuştukları her dört kişinin üçünden problem konusu elde edeceklerdir. Fakat kitaplarda hiç böyle problemler görmeyiz. İki yatırımcısını kaybeden yatırım kurumlarıyla ilgili, A şehrinden B şehrine giden arabalarla ilgili ya da tarlalarının etrafını çitlerle çevreleyen çiftçilerle ilgili ve açıklamakta zorlandığım daha bir sürü hiç bitmeyen problemlerle karşılaşırız. Kitaplarda günlük hayatla ilgili problemler olmaması yazarların buna teşebbüs etmemesinden ya da enerji eksikliğinden kaynaklanmaz, günlük hayatta böyle problemler olmamasından kaynaklanır.

Cebiri kendi kendilerine kullanmasalar bile insanlar, herkesin kesinlikle cebir öğrenmesi gerektiğini şiddetle savunurlar. Ulusal Halk Radyosu’nda (National Public Radio) “Car Talk” isimli bir programın yayınını yapan Tom ve Ray Magliozzi kardeşler programlarında genellikle kaba insanlarmış gibi davranırlar. Programlarının birinde Tom, liselerde trigonometri ve geometri derslerinin gereksiz olduğunu savunan bazı argümanlar öne sürdü. Bu konuda ciddi olup olmadığından emin değilim. Ciddi olması ya da olmaması öne sürdüğü düşüncelerin ve dinleyicilerin verdiği tepkilerin içeriğini etkilemezdi. Dinleyiciler, Tom’ a karşı birleşmişti. Matematik derslerinin önemini savunuyorlardı. Matematiğe bir çeşit bir saldırı yapıldığında, insanlar her zaman matematiği savunan tarafa geçerler.

Tom kendi açıklamasında arka bahçesinde sekizgen bir kuyu olduğunu ve onun etrafını çitlerle çevrelemek istediğini anlattı ve bunun için bu sekizgenin bir kenarının uzunluğunu hesaplaması gerektiğini ve bunu yapmak için ise Pisagor Teoremi’ni kullandığını söyledi. Sonra şöyle bir açıklama yaptı:

“Lisede öğrendiğim trigonometri ve geometri bilgisini ömrümde ikinci defa- belki de ilk defa- bu olay sayesinde kullanma fırsatını yakaladım. Bunun dışında lisenin bana verdiği daha ileri matematiği hiç bir zaman kullanmadım. Hiç bir zaman! Ömrümüz boyunca kullanmayacağımız bir şey için neden ben ve diğer öğrenciler değerli öğrenme saatlerini harcarlar ki? Buna eğitim denir mi? Hiç bir zaman ihtiyaç duymayacağımız şeyleri öğrenince ne olacak?”

Biraz gerçek ya da sahte popülizm yaptıktan sonra (“Eğitimi yöneten insanlar aslında kendilerini düşünen, paragöz, geri zekalılardır.” gibi cümleler söyledikten sonra) şöyle bir sonuca vardı:

“Hiç bir zaman kullanmayacağımız bu matematiği öğrenmenin amacı ileriki matematik konularına hazırlanmak olmalı ki bu konular da hayatımızda hiç bir işe yaramayacak.”

Bu konuşmadan sonra “Car Talk” programının web-sitesine bir çok yorum yazıldı. Bu yorumların hepsi Tom’un fikirlerine karşıydı ve bazılarının gerçeklik payı da vardı. Bu yorumlardan biri şöyleydi:

Belki sen hayatında geometriyi sadece bir kez kullanma şansını yakaladın fakat dışarıda bunu kullanmak zorunda olan bir sürü insan var. Mesela ben evimin tasarımını, düzgün bir drenaj için çatının ne kadar yükseleceğini ya da sağlam temel için kaç metreküp beton gerekeceğini hesaplayabilen insanlara yaptırdığım için çok mutluyum.

Bu yorumu yazan kişi, bir kere çözülmüş bir problemin her karşılaşıldığında tekrar aynı şekilde çözülmesi gerektiğini öngörerek genel bir hata yapmıştır. İnşaatçıların işlerini yapmaları için el kitapları ve tabloları vardır ve bunları kullanırlar. Aslında evler, tıpkı piramitler ve katedraller gibi, cebir dersi okullarda öğretilmeden hatta cebir ortaya çıkmadan çok daha önce inşa edilemeye başlanmıştır.

Bir başka kavram yanılgısı ise şu yorumda vardır:

Bence yanılıyorsun. Bütün bunları kim kullanıyor? Jeologlar, uçak tasarımcıları, yol inşaatında çalışanlar, müteahhitler, cerrahlar, ve hatta evet radyo teknisyenleri (genlik modülasyonu ve frekans modülasyonu trigonometrik fonksiyonlara dayanır. Alternatif akımı anlatmaya başlamayacağım bile.) Kısaca Tony, kendine bir hayat kur. Bu kuralları hayatlarında kullanmayan insanlar bunu yapmayı beceremeyen ve öğretemeyen insanlardır ve politika ya da talk show programı sunucusu olmak bu gibi insanlar içindir.

İnsanlar, eğer bir şey matematik içeriyorsa o şeyi kullanmak için matematik bilmek gerektiğini düşünüyorlar gibi görünüyor. Evet, radyo tabii ki sinüs ve kosinüs fonksiyonlarına dayanır. Fakat radyoya gelen telefonları ayarlayan kişinin trigonometri bilmesine gerek yoktur. Jeologlar petrol ararlar. Arama yapmak için kullandıkları araçlar diferansiyel denklemleri içerir. Fakat arama yaparken diferansiyel denklemler kullanmalarına gerek yoktur.

Matematiğin iş hayatında hiç bir şekilde kullanılmadığını söylemiyorum. Tabii ki kullanılıyor. Hatta teknolojimizin bu şekilde gelişmesi matematiğin yardımıyla olmuştur diyebiliriz. Fakat, iş hayatında matematiğe çok çok az ihtiyaç duyarız ve bu ihtiyaç için yani işlerin yürümesi için milyonlarca öğrenciye matematik eğitimi vermemize gerek yoktur. Bir zamanlar, Metropolitan Insurance Company’de çalışıyordum. Benden annuite (risk) oranını hesaplamam istenmişti. Bu iş için sigorta şirketlerinin oran kitapları vardı. Fakat bazı zamanlar kitapta olmayan oranlara ihtiyaç duyuluyordu. Yaşam ihtimalleriyle ilgili matematiksel bilgimi kullanarak oranları hesapladım. Oranları müdürüme verdiğimde bana “hayır, hayır bu doğru değil. Bu hesaplamaları şu yoldan yapmalısın.” dedi. Ben de “Fakat eğer öyle yaparsak iş yüküm üç katına çıkıyor” dedim. Böylece yaşam ihtimalleriyle ilgili bütün matematiksel bilgim çöpe gitti ve bu konuya biraz becerisi olan herhangi bir çalışanın yapacağı gibi, hesaplamaları sıradan bir şekilde yaptım.

Diyelim ki bazı firmaların daha önce karşılaşmadıkları kısmi diferansiyel denklemleri çözmeye ihtiyaçları var. Böyle bir durumda bu işi yapmak için bir sürü matematikçi var. Onlardan yardım isteyebilirler. Ayrıca matematikçiler ucuza da çalışabilirler! Meslekler cebir gerektirmezler. Bu gerçeği bir çok konuşmamda dile getirdim. Bu konuşmaların sonlarında genellikle seyircilerden bazılarının yanıma gelip yanlış düşündüğümü, bütün ömürleri boyunca kalkulus ve cebir kullandıklarını belirten insanlarla karşılaştım. Her seferinde matematiği, zorunluluktan değil, kullanmak istedikleri için kullandıkları ortaya çıktı.

Cebirin bir çok meslekte gerekli olduğunu düşünmeyenler bile cebir eğitiminin gerekliliğine inanır. Herkes cebir eğitimini destekler. Toplum daha fazla matematik eğitiminin daha fazla kişiye ulaşmasını ister. Gereklilikler giderek hep artar, hiç azalmaz.

Matematiğe olan bu desteğin nedeninin toplumun, matematiğin akıl yürütme yeteneğini geliştirdiğine olan inancı olduğunu düşünüyorum. Diğer derslere oranla matematik, akıl yürütmenin gerçeğe ulaşmada nasıl işe yaradığını bize daha iyi bir şekilde gösteriyor. Tabii ki diğer bilimler de akıl yürütmenin gücünü gösteriyor fakat bunu yaparken birimlerle ya da kimyasal denklemlerle uğraşmak gerekiyor. Matematikte ise akıl yürütme ve problem arasında hiç bir şey durmuyor.

Ekonomistler de akıl yürütürler. Fakat bazen iki ekonomist akıl yürütüp iki farklı sonuca ulaşırlar. Filozoflar akıl yürütürler fakat hiç bir sonuca ulaşamazlar. Matematikte problemler akıl yürütülerek çözülür ve çözümlerin kontrol edilip doğru olup olmadıklarına bakılabilir. Akıl yürütme öğrenilmelidir ve matematik bunu öğrenmek için en iyi yoldur.

İnsanlar bunu, belki de bilinçli olmadan, kavrarlar ve çocuklarının matematik öğrenmelerini isterler. Bir çok sefer insanlar bana matematiğin su götürmez bir kesinlikte olduğundan ve doğru cevabı bulmanın tatmin edici bir duygu olmasından dolayı matematiği sevdiklerini söylediler. Siz de hiç bu tür bir şey duymadınız mı? İnsanlar düzgün bir şekilde akıl yürütmekten hoşlanırlar. Pratik yapmanın onlar için iyi bir şey olduğunu bilirler. Bana hiç kimse şöyle bir şey demedi: “ Matematiği seviyorum çünkü bu sayede iş buldum.”

Bunu cesurca söyleyebilmek için konumuza yeterince güvenmiyoruz. Matematiğin amacını satın almak ve harcamak eksenlerinde açıklıyoruz. Atalarımız da geçmişte savunduğum düşüncelerden farklı bir şey söylememişler. Mesela 1906 yılında J. D. Fitch şöyle yazmış:

Gelecekteki avukatlarımızın, rahiplerimizin ve devlet adamlarımızın üniversitede eğriler, açılar, sayılar ve oranları öğrenmeleri bekleniyor. Bütün bu konulara günlük hayatlarında ihtiyaçları olduğu için değil, kararlı ve isabetli düşünce becerilerini geliştirmeleri gerektiğinden öğrenmeleri gerekiyor. Çünkü bu beceriler, hayatlarının her anında paha biçilmez değerde olacak.

J.D. Fitch kim bilmiyorum ama bu konuda haklı olduğunu biliyorum. Thomas Jefferson bu konu hakkında şöyle demiş:

Matematik ve doğal felsefe, alışılmışın dışında o kadar ilgi çekici ve eğlenceli ki toplumdaki herkes bunlar hakkında bilgi edinip, fikir yürütmek ister. Bunun dışında zihnimiz, tıpkı bedenimiz gibi egzersizler sayesinde güçlenip, gelişebilir. Bu sebeple matematiksel akıl yürütme ve sonuç çıkarma, kanunların anlaşılması zor yorumlarını araştırmak için çok iyi bir hazırlık olur.

Günümüz öğrencilerinden birinin açıklaması ise şu şekilde:

Okuldaki ilk senemden sonra cebir öğrenmeye karar verdim. Ertesi sene okuldaki ortalamam 2.6 dan 3.5 e çıktı. Sınavlar daha kolay gelmeye başladı ve bu hissiyat günlük hayatta yaşadığım diğer şeylerde de vardı. Kısaca cebir, sadece matematiksel gerçekleri öğrenmek için değildir. Bir düşünce yöntemidir, bir felsefedir. Zihninizi çalıştırarak, okulda ve günlük hayatta karşılaşacağınız zorlukların size daha kolay gelmesini sağlar.

Matematik eğitimi, öğrencilere akıl yürütmeyi öğretmek içindir ve her zaman da öyle olmuştur. Genellikle bu hedefe saçma problemler yardımıyla ulaşılmaya çalışılmıştır. 1650’de keşfedilen Antik Mısır papirüsü olan Rhind Papirüsü’nde şöyle bir soru vardır:

100 somun ekmeği 5 kişiye öyle şekilde paylaştırın ki, paylar aritmetik dizi halinde gitsin ve en büyük üçünün toplamının 1/7 si diğer ikisinin toplamına eşit olsun.

Antik Mısırlılar pratik insanlarmış. Fakat öyle bile olsalar bu fazlasıyla gereksiz problem öğretilmesi gereken bir şey olarak görülmüş. (Bu arada paylaşımların şu şekilde olması gerekir: 1 ⅔, 10 ⅚, 20, 29 ⅙, 38 ⅓). George Crystal’in yazdığı Algebra (1886) kitabının 154. sayfasında “Aşağıdakileri sadeleştiriniz” denilip, elliden fazla soru sorulmuştur. Bu sorulardan bir tanesi aşağıdaki gibidir:

Ekran Resmi 2015-11-16 17.17.49

Birinin böyle bir şeyi neden hesaplaması gerektiği kitabın hiç bir yerinde söylenmemiştir. Çünkü durum çok açıktır. Cebir böyle öğrenilir. Cebir öğrenme nedenimiz de tıpkı bu durum gibi çok bellidir. Cebir meslek edinmek ya da bir yerde çalışırken kullanmak için öğrenilmez. (Bu arada yukarıdaki problemin cevabı -1 dir.).

Kitap yazarlarına “Cebir- Akıl Yürütmeye Giriş” gibi başlıkları olan kitaplar yazmaları gerektiğini söylemiyorum. Bu hiç gerçekçi olmazdı. Zaten isteksiz olan öğrencileri daha da isteksiz hale getirmek istemiyorum. Sadece, şu an yapılan şeyi biraz da olsa kısamaz mıyız? Matematiğin hayatımızı sürdürmede gerekli olduğu inadını birazcık azaltamaz mıyız?

Matematik eğitimi meslekler için değildir. Akıl yürütmeyi öğretmek içindir. Matematik her zaman bunda başarılı olamayabilir fakat bunu öğretmek için en iyi yoldur. Bu amaca ulaşmak için matematik tek yol değildir. Fakat bundan daha iyi bir yol yoktur. Bu sebepten öğretmeye değer bir şeydir. Eğer abartma hakkım olsaydı matematiğin insan zekasının yarattığı en muhteşem şey olduğunu söylerdim. Bu kadar abartmayacağım ama gerçek hayatta ya da öldükten sonra benden hayatımı anlatmam istendiğinde, bu soruyu gururla şöyle cevaplayacağım “ Ben matematiğin hizmetkarlarından biriyim ve bu bana hiç bir şekilde zarar vermedi.”. Asla “ İnsanlara iş bulmaları için yardımcı oldum.” gibi bir şey söylemeyeceğim.
Boğaç Karçıka

Bilkent Üniversitesi eğitim Bilimleri Enstitüsü Yüksek Lisans Öğrencisi

Not: Bu yazı – http://www.ams.org/notices/201005/rtx100500608p.pdf

adresinden Türkçe’ye çevrilmiştir.

26.Ekim 2015

vexrobotics
TEILEN
Önceki İçerikRasyonel olmayan ölçüler
Sonraki İçerikKesir mi? Rasyonel Sayı mı?
Bilgi Üniversitesi Matematik Bölümü Mezunu.. Bilkent Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü

3 YORUMLAR

  1. Ben sizin bildiklerinizin belki 10 da 1 ini bile bilmiyorum yani merak edip hiç araştırma yapma gereği duymadım. Araştırmanıza yardımcı olur belki diye dikkatimi çeken yani gözden kaçan bir nokta varmış gibi geldi bana. Dediğiniz gibi belki mesleklerin %75 inde cebir ya da matematik kullanılıyor ama arkaplan da . Tamam herkesin cebir öğrenmesi gerekmiyor belki ama o matematiği o arkaplana kimin koyabileceğide öyle bir bakışda anlaşılan birşey değil.

  2. Herkesin cebir öğrenmesi (mesleklerin arka planındaki matematiğin nasıl konduğunu anlaması) açısından baktığımızda ortaokuldaki kadar cebirin herkes için (kaliteli vatandaşı kastediyorum) yeterli olduğuna inanıyorum. Ortaokuldaki matematik zaten ihtiyaca göre tarih sahnesine çıkmış matematik kavramları. Lisede artık bu kavramların özellikleri derinlere inmeye başlıyor (kesir mi? rasyonel sayı mı? başlıklı yazımda buna dokunmuştum bir parça). Günümüzdeki özellikle yüksek tahsil gerektiren mesleklerde de bu matematik kullanılıyor daha çok. Ben lise’nin zorunlu olmasına karşıyım (bizde uygulandığı şekli ile). Elbette 8. sınıftan sonra zorunlu bir eğitim olmasında bir sakınca yok ama bu çoğunlukla meslek eğitimi olmalı. Böyle olunca ortaokul öğrencilerini de akademik liselere yerleştirme yarışından kurtarırız. Bu sayede ortaokul matematiği de bir eleme/seçme aracı olmaktan çıkar ve daha sakin bir matematik öğretme ortamı elde edebiliriz.

CEVAP VER

Please enter your comment!
Please enter your name here

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.