Matematik Eğitimi ve Kültürü Üzerine

0
3236

Aşağıdaki yazı Paul Lockhart’ın 2002 yılında yazmış olduğu A Mathematician’s Lament yazısının bir bölümünün çevirisidir. Paul Lockhart uzun yıllar matematik üzerine araştırmalar yaptıktan sonra şu an A.B.D.’de özel bir okulda matematik öğretmenliği yapmaktadır. Yazı A.B.D ‘deki matematik anlayışı ve matematik eğitimi üzerine yazılmış. Daha sonra bu fikirleri daha ayrıntılı sunmak için yukarıda kapağını gördüğünüz kitabı yazmış. Ülkemizde de bu yazıda sözü edilen sorunlara benzer sorunlar olduğunu düşünüyorum. Bu yüzden bu yazıyı egtmatematik okurlarıyla paylaşmak istedim.

Bu yazıyı iki bölüm halinde Türkçe’ye çevireceğim. İlk bölüm bir matematikçinin (ya da bir matematik öğretmeninin) matematiği ve okullardaki matematik eğitimini nasıl gördüğüyle ilgili. İkinci bölüm ise okullardaki matematik eğitimini ve müfredatı daha ayrıntılı bir şekilde inceleyecek.

 

Birçok matematikçiye göre matematik bir sanat dalıdır. Matematiği müzik ve resim gibi diğer sanat dallarından ayıran tek şey toplumumuzun matematiği bir sanat dalı olarak görmemesidir. Herkes şairlerin, ressamların ve müzisyenlerin sanatlarını icra ederlerken kendilerini kelimeler, resimler ve sesler yoluyla ifade ettiklerini düşünür. Aslında toplumumuz yaratıcı bir iş gördüğü zaman o işi takdir eder. Örneğin, mimarlar, aşçılar, ve hatta televizyon yapımcıları birer sanatçıdır toplumun gözünde. Bütün bunlara rağmen matematikçiler neden sanatçı olarak görülmez?

Bu sorunun nedenlerinden biri kimsenin matematikçilerin ne yaptıklarına dair en ufak bir fikri olmamasından kaynaklanır. Matematikçiler için genel algı, matematikçilerin bir şekilde bilimle bağlantılı işler yaptıklarıdır. Belki de matematikçiler bilim adamlarına formülleriyle yardım ediyorlardır ya da bir sebepten bilgisayarlara büyük sayılar girerek garip çalışmalar yapıyorlardır. Dünya “şairane hayalperestler” ile “rasyonel düşünürler” olarak ikiye ayrılsaydı bir çok insan matematikçileri ikinci kategoriye sokardı.

Bütün bunlara rağmen aslında matematik kadar şairane, hayali ve radikal bir şey yoktur. Matematik, kozmoloji ya da fizik (matematikçiler kara delik fikrini fizikçiler gerçek bir kara delik bulmadan uzun zaman önce ortaya atmışlardır.) kadar beyin patlatıcıdır ve şiir, resim ya da müzikten (bunlar fiziksel dünyaya doğrudan bağlı sanat dallarıdır) çok daha fazla özgürlük verir. Matematik sanat dallarının en soyutudur ve aynı zamanda toplum tarafından en yanlış anlaşılanıdır.

Bu yüzden bu yazıda matematiğin ne olduğunu ve matematikçilerin ne yaptıklarını anlatmaya çalışacağım. Yazıya G.H. Hardy’nin matematikçiler hakkındaki muazzam açıklamasıyla başlamak istiyorum.

“Bir matematikçi tıpkı bir ressam ya da şair gibi şablonlar yaratır. Şablonları diğerlerinden daha kalıcıdır çünkü şablonlar fikirlerle oluşmuştur.”

Matematikçiler oturup fikir şablonları oluştururlar. Ne tür şablonlardır bunlar? Bu şablonlar ne tür fikirlerden ortaya çıkarlar? Gergedanlarla ilgili fikirler mi yürütür matematikçiler mesela? Neyse ki gergedanlarla ilgili fikirleri biyologlara bırakıyoruz. Dil ya da kültürle ilgili fikirler mi üretirler? Genellikle hayır. Bu tür konular birçok matematikçiler için oldukça karmaşıktır. Eğer matematikte birleştirici estetik bir kural olsaydı: “Basit olan şey güzeldir” kuralı o birleştirici kural olurdu. Matematikçiler olası basit şeyler hakkında düşünmekten çok hoşlanırlar ve olabilecek en basit şeyler her zaman hayali olanlardır.

Mesela şekiller hakkında bir şey düşünüyorsam- ki genellikle düşünürüm- bir dikdörtgen kutu içinde bir üçgen hayal edebilirim:

 

Bu üçgenin dikdörtgen kutumuzun ne kadarını doldurduğunu merak ederim. Belki üçte ikisidir? Burada önemli olan şey kutunun içine üçgen çizmek değildir. Bir köprünün kiriş sistemi için metalden üçgensel parça üretmekten de bahsetmiyorum. Burada gerçek hayata uygulanabilir gizli herhangi bir amaç yoktur. Bir dikdörtgen kutunun içinde bir üçgen hayal ederken ben sadece oyun oynarım. Matematik zaten budur. Merak etmek, oyun oynamak, kendinizi hayal gücünüzle eğlendirmek. Üçgenin dikdörtgen kutunun ne kadarını kaplayacağı sorusu aslında fiziksel dünyada saçma sapan bir sorudur ve hiçbir anlamı yoktur. Fiziksel dünyada olabilecek en hassas şekilde yapılmış üçgen şeklindeki bir yapı, titreşen karmaşık atomlardan oluşur ve aslında bu atomlar sayesinde her dakikada bu üçgen biçimindeki yapının şekli değişir. Sorduğum soru, kutunun ve üçgenin yaklaşık ölçülerinden bahsediyorsa bu durum değişir. İşte tam da burada estetik ortaya çıkar. Bu sorunun cevabı basit olmakla kalmayıp aynı zamanda soru, gerçek hayatın şartlarına bağlı olduğu için çirkin bir sorudur. Bu sorunun cevabını bilim adamlarına bırakalım. Asıl matematiksel soru, dikdörtgen biçimindeki hayali bir kutunun içindeki hayali bir üçgen hakkındadır. Köşeler kusursuzdur çünkü ben tam da öyle istiyorum- hayalimde canlandırdığım şekil tam olarak böyle. Matematiğin ana teması budur: Şekiller ya da hayal ettiğiniz şeyler siz nasıl isterseniz öyle olur. Sonsuz tercihiniz var; sizi yolunuzdan alıkoyan gerçek hayat kısıtlamaları yok.

Öte yandan, bir kere tercihinizi yaptığınız zaman (örneğin ben kendi üçgenimi simetrik seçebilirdim ya da seçmeyebilirdim) yarattığınız yeni şey, sizin işinize gelsin ya da gelmesin ne yapması gerekiyorsa onu yapar. Hayali şablonlar yaratmakta ki en güzel şey budur: Siz hayali bir şey yaratınca yarattığınız şey sizinle konuşmaya başlar! Üçgen, kutuda belli bir miktar yeri kaplar fakat bu miktarı belirleme konusunda benim herhangi bir gücüm yoktur. Bu miktarı bana gösterebilecek bir sayı vardır. Belki üçte iki belki değil. Bu sayıyı anında söyleyemem fakat bu sayıyı bulabilirim.

Kısaca matematikçiler olarak istediğimiz zaman oyunlar oynarız, hayaller kurarız ve bu hayaller hakkında sorular sorarız. Peki bu sorulara nasıl cevaplar buluruz? Sorulara cevap bulmamız fiziksel bilimlerdeki gibi olmaz. Test tüpleriyle ya da başka malzemelerle deneyler yaparak hayalimde yarattığım bir şeyin doğru olup olmadığını test edemem. Hayalimizdeki bir fikrin doğru olup olmadığını anlamanın tek yolu yine hayal gücümüzdür.

Dikdörtgen kutu içindeki üçgen örneğimizde çok basit ve şirin bir şey görürüm:

Bu şekilde dikdörtgeni ikiye bölersem her bir küçük dikdörtgen parçanın köşegenlerinden tam ortadan ikiye bölündüğünü görebilirim. Böylece üçgenin kapladığı alanın tam olarak boş alana eşit olduğu ortaya çıkar. Bu da üçgenin kutunun yarısını doldurduğunu gösterir.

Matematik işte böyle bir şeydir ve böyle hissettirir. Bu küçük örnek, matematikçilerin nasıl sanat yaptığını gösterir: Hayali eserlerimiz hakkında basit ve zarif sorular sorar ve tatmin edici ve güzel açıklamalar ortaya çıkarırız. Gerçek hayatta soyut fikir dünyasına benzeyen hiç bir şey yoktur: Bu dünya heyecan vericidir, eğlencelidir ve aynı zamanda bedavadır!

Peki bu fikir nereden geldi? Dikdörtgenin içine o çizgiyi nasıl çizdim? Bir ressam fırçasını nereye süreceğini nereden bilir? İlham, deneyim, deneme – yanılma, aptal şansı. Zaten işin sanat olan kısmı buradadır: Düşlerimizdeki güzel küçük şiirleri, saf muhakeme sonelerini yaratmak. Bu sanat dalında çok dönüşümsel bir şey vardır. Üçgen ile dikdörtgen arasındaki ilişki ilk başta tam bir sırdır. Çizdiğim o küçük çizgi, bu ikisi arasındaki ilişkiyi aşikar kılar. İlk başta hiç bir şey göremezken sonradan her şeyi görebilir hale geldim. Ortada hiç bir şey yokken basit ve güzel bir şey yarattım ve bu süreç içerisinde kendimi değiştirdim. Zaten sanatta bu değil midir?

Okullarda yapılan matematiği görmek işte bu yüzden çok yürek parçalayıcıdır. Bu zengin ve heyecan verici hayal kurma macerası ezberlenmesi gereken “kurallar” ve izlenmesi gereken prosedürlere indirgenir. Çözümü, yaratıcılık ve faydalı bir süreç içeren şekiller hakkındaki basit ve doğal bir matematik sorusu öğrencilere şu şekilde aktarılır:

Üçgenin Alan Formülü

A = ½ b h

“Üçgenin alanı tabanı ve yüksekliğinin çarpımının yarısıdır.” Öğrencilerden bu formülü ezberlemeleri beklenir ve “alıştırma” sorularında bu formülü tekrar tekrar kullanmaları istenir. Böylece yaratıcı bir eylemin heyecanı, eğlencesi, hatta acısı ve hüsranı ortadan kalkar. Bu soru artık problem olmaktan çıkmıştır. Aynı anda hem soru sorulup hem cevabı verilmiştir. Öğrenciye yapması gereken hiç bir şey bırakılmamıştır.

Şimdi neye itiraz ettiğimi daha açık bir şekilde anlatayım. Öğrencilerin formülleri ya da ilginç matematiksel gerçekleri ezberlemesine itiraz etmiyorum. Yeni bir dil öğrenirken bilmediğimiz yeni kelimeleri öğrenmek zorunda olduğumuz gibi matematik eğitiminde bunların da yeri vardır. Böyle yapmak sizin daha zengin, daha farklı bir sanat eseri yaratmanıza yardımcı olur. Fakat burada önemli olan kutunun içindeki üçgenlerin her zaman kutunun yarısı kadar yer kaplayacağı gerçeği değildir. Burada önemli olan şey, şekli bir çizgi ile ikiye bölmek ve başka güzel fikirlere nasıl ilham kaynağı olduğunu görüp başka problemlere nasıl yaratıcı yenilikler getirdiğini görmektir.

Yaratıcı süreci ortadan kaldırarak ve sadece sürecin sonunu öğrencilere vererek konuya hiç kimsenin gerçekten ilgi duymamasını sağlamış olursunuz. Bu, “Michelangelo çok güzel bir heykel yapmış fakat görmeme izin vermiyor.” demekle aynı şey. Böyle bir heykelden nasıl ilham alabilirim?

Ne?” sorusuna odaklanıp “Nasıl ?” sorusunu görmezden geldiğimizde matematik içi boş bir kabuğa benzer. Buradaki sanat “gerçek” te değildir, açıklama ve argümandadır. Argümanın kendisi konudaki gerçeği verir ve söylenmesi gereken ne varsa söyler. Matematik, açıklama sanatıdır. Öğrencilerinizi kendi problemlerini yaratmaktan, kendi sanılarını oluşturmaktan, kendi keşiflerini yapmaktan, yanlış yapmaktan, yaratıcı bir şekilde hüsrana uğramaktan, ilham almaktan, kendi açıklamalarını ve kanıtlarını göstermekten alıkoyuyorsanız aslında öğrencilerinizi matematikten alıkoyuyorsunuz. Kısaca matematik derslerindeki matematiksel gerçeklerden ve formüllerden şikayet etmiyorum. Matematik derslerindeki matematik eksikliğinden şikayet ediyorum.

Resim öğretmeniniz size resim yapmanın verilmiş bölgeleri gerekli renklerle boyamaktan ibaret olduğunu söyleseydi müzelerdeki ve resim galerilerindeki resimlere bakarak ortada bir yanlışlık olduğunu düşünürdünüz. Aynı şekilde fen öğretmeniniz size astronominin, bir kişinin sadece doğum gününe dayanarak geleceğini tahmin etmek olduğunu söyleseydi onun deli olduğunu düşünürdünüz. Çünkü bilim, kültürün her alanına öyle bir şeklde sızmıştır ki dünya üzerindeki neredeyse herkes atomlar, galaksiler ve doğa kanunları hakkında bir şeyler bilir. Fakat matematik öğretmeniniz matematiğin size sadece formüller, tanımlar ve algoritma ezberlemekten ibaret olduğunu söyleseydi sizi kim kurtaracaktı?

Buradaki sorun aslında kendi kendini yenileyen bir canavardan kaynaklanır: Öğrenciler matematiği matematik öğretmelerinden öğrenirler, öğretmenler matematiği kendi matematik öğretmenlerinden öğrenirler. Bu sebepten kültürümüzdeki matematiği eksik anlama ve saygı göstermeme geleneği sürekli devam eder. Ayrıca bu ebedi şekilde devam eden “yarı-matematik” , bu amaçsız semboller bütünü, kendi kültürünü, kendi değerlerini yaratır. Bu sisteme kendini adapte eden kişiler başarı için kendilerine çok güvenirler. Duymak isteyecekleri son şey matematiğin yaratıcılık ve estetik kaygı içerdiğidir. Kendilerine matematikte “iyi” olduğu söylenen bir çok matematik öğrencisi aslında sadece yönlendirmeleri takip etmekte iyi olduklarını, matematikte ise iyi olmadıklarını anladıklarında çok üzülürler. Matematik, yönlendirmeleri takip etmek değil yeni yönlendirmeler oluşturmaktır.

Çocuklarımızın matematik yapmayı öğrenmesini neden istemeyiz? Matematiğin çok zor olduğunu düşündüğümüzden ya da çocuklarımıza güvenmediğimizden olabilir mi? Napolyon hakkında argümanlar üretip sonuçlar çıkardıklarını görebiliyosak neden üçgenler hakkında aynı şeyi yapamasınlar? Bence bunun sebebi kültür olarak matematiği bilmememizden kaynaklanıyor. Çocuklara matematik hakkında  verdiğimiz imaj matematiğin hiç kimsenin anlayamayacağı oldukça teknik bir şey olduğudur.

Toplumun matematik hakındaki cehaleti yeterince kötüyken bir de üstüne daha da kötüsü oluyor. Bireyler matematiği gerçekten bildiklerini düşünüyorlar. Bu kişiler, açıkça matematiğin topluma bir şekilde faydalı bir şey olduğunu söyleyen çirkin bir yanlış fikrin kurbanı olmuşlar. İşte matematiği diğer sanat dallarından ayıran koskocaman bir fark bulduk! Toplum matematiği bilim ve teknoloji için kullanılan bir çeşit alet olarak görüyor. Herkes müzik ve şiirin insan ruhunu yüceltmek için, mutlu ve huzurlu olmak için var olduğunu düşünür. Fakat topluma göre matematik bunlar gibi olamaz. Matematik önemlidir!

SIMPLICIO: Gerçektende matematiğin topluma herhangi bir faydası olmadığını mı iddia ediyorsun?

SALVIATI: Tabii ki hayır. Bir şeyin gerçek hayatta pratik çözümler sunması o şeyin aslında ne olduğunu anlatmadığını iddia ediyorum. Örneğin ordular müzikle beraber marşlar eşliğinde savaşlara yürürler. Fakat besteciler bunu düşünüerek senfonileri yazmamışlardır. Michalengelo tavan tasarlamıştır fakat eminim ki aklında daha yüce şeyler vardı.

SIMPLICIO: Fakat insanların matematiğin gerçek hayattaki pratik sonuçlarını öğrenmesine ihtiyacımız yok mu? Örneğin, muhasebecilere ya da marangozlara ihtiyacımız yok mu?

SALVIATI: Kaç insan okulda öğrenmeleri beklenen bu “pratik matematiği” gerçek hayatta kullanıyor? Sence marangozlar trigonometri mi kullanıyor? Kaç yetişkin insan kesirleri bölmeyi ya da ikinci dereceden denklemeleri çözmeyi hatırlıyor? Açıkça şu anki “pratik” program iyi çalışmıyor ve daha da kötüsü bu program dayanılmaz bir şekilde sıkıcı. Hiç kimse bu programdan öğrendiklerini kullanmaz ve kullanmayacak. Peki neden insanlar bunun önemli olduğunu düşünüyor? Toplumdaki bireylerin cebirsel formülleri ve geometrik şekilleri belirsiz bir şekilde hatırlayıp bu formül ve şekillerden nefret ettiklerini açık bir şekilde hatırlamalarının topluma herhangi bir faydasını göremiyorum. Aslında onlara güzel birşeyler gösterip, yaratıcı, esnek, açık fikirli düşünürler olma fırsatını versek- yani onlara gerçek matemaik eğitimi versek-  topluma çok katkı sağlamış oluruz.

SIMPLICIO: Fakat insanlar çek defterlerini dengelemek zorundadır değil mi ?

SALVIATI: Eminim ki bir çok insan günlük hayatlarında aritmetik için hesap makinası kullanıyordur. Neden kullanmasınlar ki? Hesap makinaları hem daha güvenilir hem de kullanımı çok kolay. Benim derdim bu sistemin içler acısı olduğunu söylemek değil, sistemin olağanüstü güzel bir şeyi görmeyi reddetmesi. Matematik bir sanat dalı gibi öğretilmeli. Böyle öğretildiğinde matematiğin bu dünyevi “kullanışlı” özellikleri zaten kendiliğinden gelecektir. Beethoven kolaylıkla bir reklam müziği yazabilirdi. Fakat müziği öğrenme motivasyonu ona çok güzel bir şey yaratma imkanı sağladı.

SIMPLICIO: Fakat herkes sanatçı olmak zorunda değil. “Matematik kafası” olmayan çocukları ne yapacağız? Senin anlattığın düzene bu çocuklar nasıl adapte olacak?

SALVIATI: Eğer herkes mücadele, heyecan ve süprizlerle dolu olan gerçek matematikle uğraşırsa, öğrencilerin matematiğe karşı olan tutumlarında ve “matematikte iyi olma” tanımımızda belirgin bir değişme göreceğimize inanıyorum. Şu an okullarda adına matematik denilen  bu anlamsız ve kısır dersi öğrenmeyi haklı olarak reddeden, yaratıcılığı ve parlak zekası olan bir çok potansiyel matematikçiyi kaybediyoruz. Bu insanlar sadece bu saçmalığa vakit harcamak için fazla akıllılar.

SIMPLICIO: Peki matematik dersleri sanat dersleri gibi olduğu zaman bir çok öğrencinin aslında hiçbir şey öğrenmeyeceğini düşünmüyor musun?

SALVIATI: Şu an zaten hiçbir şey öğrenmiyorlar ki! Şu anki gibi matematik dersi yapılacağına hiç yapmayalım daha iyi. En azından bazıları kendi başlarına belki güzellikleri keşfederler.

SIMPLICIO: Yani sen Milli Eğitim Bakanı olsan okullardan okullardan matematik dersini kaldırırdın?

SALVIATI: Okullardan zaten matematik dersleri kalkmış durumda! Bize kalan tek soru bize bu içi boş, kuru kabukla ne yapacağımızdır. Ben tabii ki bu dersi, matematiksel fikirlerle dolu, daha akif ve eğlenceli bir dersle değiştirirdim.

Boğaç Karçıka

Bilkent Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü Yüksek Lisans Öğrencisi

vexrobotics

CEVAP VER

Please enter your comment!
Please enter your name here

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.