Geometrinin Tarihi: Uygulamadan Soyutluğa

1
8662
  1. Eski ve Klasik Geometri

Günlük hayatlarının önemli bir parçası olduğundan dolayı eski toplumlar önemli derecede geometri biliyorlardı. Patik ölçümler yapmak, tapınaklar ve saraylar inşa etmek için farklı türdeki şekilleri birleştirmek ve bölmek ve inşaat mühendisliği için gereken kurallar kullandıkları geometri bilgileri arasındaydı. Günlük pratik amaçları için insanlar “düz” bir dünyada yaşadılar. “Düz bir çizgi” çok fazla gerilmiş bir ipti ve bir çember sabit bir noktanın etrafında yuvarlak çizerek oluşturulabilirdi.

Adsız

Bu insanların bilgilerinin çoğu Akdeniz çevresinde iyi biliniyordu ve Yunan medeniyetleri MÖ 4. yüzyılda kendisini göstermeye başladı, Aristo gibi filozoflar (MÖ 384-322) özel bir düşünme şekli geliştirdiler ve katılımcıların iddialarının neye dayandığını olabildiğince net bir şekilde açıklamalarını gerektiren bir tartışma yönteminin ortaya çıkmasına neden oldular. Bu ortamda, Yunan mantığı doğdu.

Adsız

Bu dönem süresince, İskenderiye Yunan ilminin önemli merkezlerinden biri oldu. İskenderiye aynı zamanda MÖ 300 yıllarında Öklit’ in Matematik Elementleri’ nin yazıldığı yerdir. Aristo’ nun ilkelerinden sonra, Öklit matematik yaparken nokta, düz çizgi, yüzey, açı, çember, üçgen gibi temel kavramların tanımlarını ve aksiyomları (ya da postulatlar) kullanmaya başladı. Bu onun matematiğin gelişiminin başlangıcı olarak kabul edilir.

İlk üç aksiyom ne yapılacağı ile ilgili, bir sonraki dik açıların eşitliğiyle ilgili ve sonuncusunda ise iki doğrunun kesişip kesişmeyeceğini bulmak için iki dik açının toplamı kullanılıyor.

  • Bir noktadan diğerine düz bir çizgi çizilebilir.
  • Bir doğru parçası her iki yöne de sürekli bir şekilde uzatılabilir.
  • Bir merkez ve uzaklık kullanarak çember çizilebilir.
  • Tüm dik açılar birbirine eşittir.
  • İki doğruyu kesen bir doğru ölçüsü iki dik açıdan daha az olan aynı tarafta bulunan iç açılar oluşturursa ve bu iki doğru sonsuza kadar uzatılırsa, bu doğrular ölçüsü iki dik açıdan daha az olan açıların olduğu tarafta kesişirler.

AdsızÖklit kalemini bırakır bırakmaz, matematikçiler ve felsefeciler 5. aksiyomda zorluk yaşamaya başladılar. İlk dört açıklamanın aksine 5. aksiyom bir aksiyomdan ziyade bir teorem olabilecek gibi duruyordu. Bu 5. aksiyomun diğer 4 aksiyomun sonucu olduğu anlamına geliyordu.

  • Bir doğru ve bu doğru üzerinde olmayan bir nokta verilsin. Bu noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan başka bir doğru çizmek mümkündür.



Playfairs-axiom  PLayfair

 

 

 

        Playfair’ in Aksiyomu                                                                                                                                                                             Playfair (1748-1819)

Bugün bu Playfair’ in aksiyomu olarak biliniyor. Bu aksiyom 1200 yıldan fazladır bilinmesine rağmen 1975′ te İngiliz matematikçi John Playfair Öklit ile ilgili önemli bir çalışma hakkında yazdıktan sonra böyle adlandırılmıştır.

Arap matematikçiler de Yunan matematiği üzerine çalışmalar yapmışlardır. 5. aksiyomun diğerlerine göre daha karmaşık halini bir mantık çerçevesinde analiz ederek kendi versiyonlarını oluşturmuşlardır.

Abul Wafa al-Buzjani (940-998)

Abul Wafa trigonmetriyle ilgili bazı önemli bilgileri bulmuştur. Yıldızların dik açıklığının kesin ölçümü için bir duvar kadranı yaptığı söyleniyor [Aşağıdaki not 1′ e bakın].  Abul Wafa aynı zamanda tanjant, sekant ve kosekant fonksiyonlarını tanıttı ve açıları arasında 15° olan trigonometrik tablolar yapıp sonuçları 8 ondalık basamağa yuvarladı. Tüm bunlar onun Ay Teorileri’ ndeki Ay’ ın yörüngesi üzerine yapılan araştırmalarının bir parçası olarak yapıldı. Ondan sonra bir krater Abul Walfa olarak adlandırıldı.

Trigonometrik araştırmalarının bir sonucu olarak küresel üçgenler ile ilgili problemleri çözmek için yöntemler geliştirdi.

Yunan gökbilimciler evrenin geometriksel modelini tanıttığından bu yana çok zaman geçti. Abul Wafa kürenin içerisinin üzerinde bulunan yıldızlar arasındaki uzaklığı ölçmenin yollarını bulmak için küresel üçgen fikrini kullanan ilk Arap gökbilimcidir. Aşağıdaki diyagramda kenarları a, b, c olarak adalandırılan mavi üçgen kürenin içerisinin üzerindeki yıldızların arasındaki uzaklığı temsil etmektedir. Üç açının işaretlendiği tepe noktası gözlemcinin bulunduğu yerdir.

Spherical-Triangle

                                                                    Küresel Üçgen

Ömer Hayyam (1048-1131)

Şiirleriyle ünlü olan Ömer Hayyam aynı zamanda Öklit‘ in kitabının zor aksiyomları üzerine Açıklamalar yazan üstün bir matematikçi ve gökbilimcidir. 5. aksiyomu kanıtlamaya çalıştı ve şekillerin Öklit kurallarına dayanmayan bazı özelliklerini bulduğunu keşfetti.

Omar Omar-Khayyam-Quadrilateral

 

 

 

 

 

Ömer Hayyam(1048-1131)                                           Ömer Hayyam’ ın Dörtgeni

Ömer Hayyam Öklit’ in 5. aksiyomun ispatının diğer 4 aksiyomun bir sonucu olacağını ispatlama çabaları içerisindeyken resimde gösterilen dörtgeni oluşturdu. İşe AB’ ye dik olan eşit uzunluktaki AD ve BC doğru parçalarını çizerek başladı. C ve D noktalarını birleştirerek dörtgenin üst kısmındaki iç açıların 90° olacağını ispatlarsa DC’ nin AB’ ye paralel olduğunu gösterebileceğini fark etti. Üst kısımdaki iç açıların eşit olduğunu gösterebilmesine (kendi kendinize deneyiniz) rağmen onların dik açı olduğunu kanıtlayamadı.

Nasirüddin Tusi (1201-1274)

Adsız

Tusi birçok Yunan metinini açıkladı ve Öklit’ in 5. aksiyomu üzerine yaptığı açıklamalar Latince’ ye çevrildi. Bu açıklamaları John Wallis’ in 1963′ teki çalışmalarında bulabilirsiniz.

Öklit’ in 1. aksiyomunu eleştirdi:

“İki doğruyu kesen bir doğru aynı tarafta bulunan iç ters açıya eşit olan bir dış açı oluşturursa ya da aynı tarafta bulunan iç açıların toplamı iki dik açıya eşitse doğrulardan biri diğerine paraleldir”

 

Al-Tusi diagram

                                                              Tusi’ nin Diyagramı

g13

                                                      Tusi’ nin orjinal Diyagramı

Tusi’ nin argümanı bu ifadenin ikinci kısmıyla ilgili. İki doğru verilsin, AB ve CD doğrusu, PQ’ dan XY’ ye kadar çizilen CD’ ye dik olan ve AB ile birleşen doğrular. Bu dik doğruların iki tarafındaki açılardan biri dar açıdır (A’ nın olduğu tarafa bakan açılar) ve diğeri geniş açıdır (B’ nin olduğu tarafa bakan açılar). PQ dik doğrusunun diğerlerinden ve sonuncu olan XY’ den daha uzun olduğu görülmektedir. Bunu tersi de doğrudur; XY dik doğrusu EF de dahil olmak üzere diğerlerinden daha kısadır. Bu nedenle bir dikdörtgen çizmek için bu doğru çiftlerinden herhangi biri seçilirse dikdörtgenin bir dar açısı (A’ nın olduğu tarafa bakan açılar) ve bir geniş açısı olacaktır (B’ nin olduğu tarafa bakan açılar). Öyleyse dik doğruların aynı uzunlukta olduğundan nasıl emin olabiliriz ya da iki açının da dik açı olduğundan?

Tusi’ nin matematiğe olan en önemli katkısı tüm düzlem sisteminin ve küresel trigonometrinin matematiğin bağımsız branşları olduğunu göstermesiydi. Sistemi ayarlarken eğik çizgilerin ve düz çizgilerin karşılaştırılmasını ele aldı. Düzlem üçgenler için “sinüs formülü” bir süre için bilindi ve Tusi küresel üçgenler için karşılaştırılabilen bir formül oluşturdu:


AdsızGreat Circles & Triangle

                                                                                 Büyük Yaysal Üçgen

Buradaki önemli fikir Abul Wafa ve Tusi’ nin astronominin gerçek problemleriyle ilgileniyor olmaları ve mantıksal argümanın yanısıra onun gerekçeleri içinde hesaplamaları gerektiren Öklit dışı geometriye ait gerçek yaşamla ilgili ilk geometriyi ortaya koymalarıdır. O ‘Küre İçi Geometrisi’ ydi.

2. Rönesans ve İlk Modern Gelişmeler

Ressamların Perspektifleri

Orta Çağ’ da Hristiyan Sanatı’ nda hiyerarşi vardı. Önemli kişiler resimlerde diğerlerinden daha büyük yapılırdı ve bazen derinlik algısı yaratmak için aziz ve melek grupları biri diğerinin arkasında olacak şekilde futbol tribünündeymiş gibi bir sırada dizilirlerdi. Öklit Optiği teorik geometri görüşünün ortaya çıkmasını sağladı ama Hayyam’ ın (965-1039) optikle ilgili çalışmaları tanınmaya başladığında sanatçılar yeni teknikler geliştirmeye başladılar. 14. yüzyılda doğru perspektife uygun resimler görülmeye başladı ve “kaldırım” yapma metotları şüphesiz ustasından çırağına miras kaldı.

Leone Battista Alberti (1404-1472) 1435′ te kaldırım metodunun ilk tanımını yayınladı ve kitabını doğrusal perspektif oluşturmanın ilk doğru metodunu bulan ve 1413′ e kadar bu metodu açık bir şekilde kullanan Fillipo Brunelleschi’ ye ithaf etti.

AdsızAdsız

                                                                                                                     

Alberti’ nin metodu izdüşümsel perspektif olarak adlandırılır. Resmin merkezinde bir H (horizon = ufuk) doğrusu çizin ve onun üzerinde bir V noktası koyun. V’ den resmin tabanına kadar eşit aralıklı doğrular çizin. Ufuk çizgisi üzerine bir Z noktası koyun ve Z’ den başlayıp H’ nin altındaki köşede biten bir çizgi çizin. Bu doğru başlangıç noktası V olan tüm doğruları kesecektir. Kesişim noktaları resmin zemin düzlemi olan “kaldırımın” yatay çizgilerini çizmek için gereken doğru aralığı verecektir.

Piero Della Francesca (1412-1492) aritmetik, cebir ve Öklit kitabı VI:b’ de yer alan 21. önermenin önemli bir karşıtını gösterdiği perspektif üzerine yaptığı klasik çalışmayla ile ilgili bilimsel eserler yazan oldukça yetenekli bir matematikçidir.

“Aynı şekle benzer olan şekiller aynı zamanda birbirine benzerdir”

Öklit bu öneriyi benzerliğin geçişli bağıntı olduğunu kabul ettirmek için kullanmıştır. Piero’ nun karşı uzunlukları birbirine eşit olmayan bir çift paralel doğru eşit parçalara bölünürse, doğruların bölündüğü noktalardan geçen doğrular birleşme noktasına doğru yönelerek burada birleşirler.

FrancescaPiero Euclid VI, 21

 

 

 

 

 

Piero della Francesca (1412-1492)                                     Piero Öklit 4, 21 Diyagram

Piero’ nun argümenti ABD and AHK, ADE ve AKL, vb üçgenler arasından seçilen üçgen çiftlerinin HK BC’ ye paralel olduğundan dolayı benzer oldukları gerçeğine dayanır ve AB’ nin BC’ ye oranı AH’ nin HI’ ya oranına eşittir. Bu da tüm doğruların A’ da birleşme noktasında birleştiği anlamına gelir.

Durer Reclining Woman Perespective Durer

 

 

 

Durer “Yaslanan Kadın” perspektif resmi

                                                                                                                                                                                                    Alberecht Durer (1471-1528)

Desargues ve Projektif Geometri

1639′ da, Girard Desargues (1591-1661) projektif geometri üzerine çığır açan bilimsel bir eser yazdı. Önceden Mimarlar için uygulanabilir perspektif kullanma klavuzunu yazmıştı ve daha sonra  başka bir tane de duvarcılar için taş yontma üzerine yazdı ama onun yaklaşımı kuramsaldı ve anlaşılması zordu. 1639′ da yazdığı bir bilimsel eserinde bir çok yeni temel kavramı tanıttı. Sonsuzdaki nokta kavramı (ufuk noktası) ilk kez ortaya çıktı. O aynı zamanda “görme konisi” ile ilgili bilgileri kullandı ve ufuk noktasından çıkan doğrular gibi “doğrular kalemi” hakkında fikirlerini söyledi (ve sonsuzda bir noktan olursa sonsuzda doğru oluşturmanı sağlayacak daha fazla nokta neden olmasın?).

Bu tamamen geometrinin yeni bir çeşidiydi. Temel ilişkiler herhangi bir katı Öklit şeklinin perspektif dönüşümüyle benzer başka bir şekle dönüştürülebileceği anlamına gelen “projektif ve kesit” fikirlerine dayanıyordu.

Bir kare bir paralelkenara dönüştürülebilirdi (gölge oyununu düşünün) ve dönüştüğünde ise kenarlarının sayısı ile sırası aynı kalırken sadece uzunlukları değişir.

Durer Cone Section Parabola Construction

                                                       Durer’ in Koni Resmi

Yeni geometri o dönemlerde pek tutulmadı çünkü Desargues’ in teknik dili zordu ve Rene Descartes’ in üç yıl önce yayınlanan koordinat geometrisi çok ünlüydü. 18. yüzyıldan sonra Descartes’ in çalışmaları yeniden keşfedildi ve hem teoriksel olarak hem de uygulamalı olarak temel kavramlar olan değişmezlik ve ikililiği de içeren tümleşik bir sistem olacak şekilde geliştirildi.

Projektif Geometri’ de uzunluklar ve uzunluk oranları, açılar ve figürlerin şekilleri iz düşümler ile değiştirilebilir. Herhangi bir çift doğru bir noktada kesiştiğinden dolayı paralel doğrular oluşmaz.

İz düşümler ile değişmeyen özellikler üç veya daha fazla noktanın bir doğru üzerindeki sırası ve 4 nokta A, B, C, D arasındaki çapraz orandır. Oran şöyledir:

\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BD}Projektif ile ilgili diğer bir önemli kavram ise “ikilik” tir. Düzlemde”nokta” ve “doğru” tanımları “ikili”dir ve geçerli olan başka bir ifade oluşturmak geçerli olan bir ifade de nokta ve doğrunun yeri değiştirilebilir.

Leo’ nun İspatla ilgili makalesine (Değişmeyen Projektif ve Kesit için) ve Dört Renk Teoremi’ ne (İkilik için) bakınız.

3. Modern Geometri

Küresel Trigonometri’ nin  uygulanabilir buluşları Arap Gökbilimcileri, Perspektif Geometri’ nin uygulanabilir buluşları Rönesans Ressamları ve Projektif Geometri’ nin uygulanabilir buluşları Desargues ve 18. yüzyıldan sonraki matematikçiler tarafından yapılmasına rağmen Öklit Geometrisi hala gerçek yaşamın gerçek geometrisi olarak görülür. Bununla birlikte, matematikçiler hala paralelik aksiyomunun geçerliliği hakkında endişeleniyorlardı.

1663′ te İngiliz matematikçi John Wallis Tusi’ nin çalışmalarını tercüme etti ve onun sorgulama yöntemini uyguladı. 5. aksiyomu ispatlamak için her şeklin rasgele seçilmiş büyüklükte bir benzeri olduğunu varsaydı. Bununla beraber, Wallis ispatının paralellik aksiyomuna eşdeğer olan bir varsayıma dayandığını fark etti.

Saccheri Title Page

Girolamo Saccheri (1667-1733) 1685′ te Cizvit Tarikatı’ na girdi. Milan’ a gitti ve orada felsefe, ilahiyat ve matematik çalıştı. Rahip oldu ve Cizvit’ lerin çeşitli kolejlerinde öğretmenlik yaptı, son olarak Pavia’ da felsefe ve ilahiyat öğretti ve ölene kadar orada matematik bölümünün başkanlığını yaptı. Saccheri Arap matematikçilerin çalışmalarını biliyordu ve paralellik aksiyomunu araştırırken Tusi’ yi takip etti. 1773′ te ilk ünlü kitabı olan Kusurlarından Kurtarılan Öklit’ i (Eucleid Freed From Flaws) yayınladı: .

Kitabının başındaki ilk aksiyomda Saccheri Ömer Hayyam’ ın yaptığına benzer bir yöntem kullanarak bir dörtgen çizdi         Saccheri’nin Başlık Sayfası ve ADB ile BCA açılarının eşit olduğunu buldu. Daha sonra dörtgenin daha üst kenarının uzunluğunu hesaba kattı ve 3. önermede CD’ nin AB’ ye eşit uzunlukta olma, AB’ den daha kısa olma ve AB’ den daha uzun olma durumlarını anlattı.

Bu olasılıklar aşağıdakiler ile eşdeğer:

Hipotez 1: Tam olarak bir tane paralel doğru var (dik açı durumu CD=AB).

Hipotez 2: Hiç paralel doğru yok (geniş açı durumu CD<AB).

Hipotez 3: Birden fazla paralel var (dar açı durumu CD>AB).

Adsız                                                Saccheri’ nin Hipotez Diyagramı

Saccheri (i) bir doğrunun düzlemi iki bölgeye ayırdığını ve (ii) bu doğrunun sonsuza uzadığını varsayıyor. Bu varsayımlar geniş açı durumuyla bağdaşmıyor bu nedenle reddediliyor. Bununla birlikte, dar açı durumuyla bağdaşıyor. Aşağıdaki diyagramdan bunu görebiliriz (figür 33). Aşağıdaki XXXII. Önerme’ de sonlu bir nokta alarak sonsuzda kesişmeyi ele alıyor ve bu onun çelişkisinin olduğu yerdir.

Saccheri Fig 33

XXXII. Öneri’ de

“Şimdi BX ile yalnızca sonsuzda birleşen AX’ in altına çizilen belirli bir BAX dar açısı olduğunu (dar açı hipotezinde) söylüyorum ve bu nedenle kısmen belirli bir mesafe uzaklıkta bulunan bir sınırdadır ve kısmen değildir; bir yandan dar açıdan daha küçük olanlar sonlu uzakta bulunan ve önceden adı geçen BX ile kesişir ve diğer taraftan dar açıdan daha büyük olanlar hatta dik açı da dahil olmak üzere iki ayrı noktada BX’ e dik gelirler.”

Şimdi bize göre AX eğrisi asimptot gibi duruyor ama Saccheri AX ve BX’in “sonsuz uzaklıkta” kesiştiğini söylüyor ve bir sonraki  XXXIII. Önermede’ de şunu ifade ediyor:

“Dar açı hipotezi kesinlikle yanlıştır; çünkü o doğrunun doğasına aykırıdır”.

İroni olan sonraki yirmi sayfada dar açı durumunun imkansız olduğunu göstermek için Öklit dışı geometriye ait çok güzel teoremler göstermesidir. Saccheri’ nin kendisine göre kendi mantığına karşı olan mantıksal bir sonuçla başa çıkamadığı açık bir şekilde gözüküyor.

Saccheri’ nin çalışması neredeyse 1899′ a kadar yani İtalyan matematikçi Eugenio Beltrami (1835-1900) onları ortaya çıkartıp yayınlayana kadar bilinmiyordu. Bildiğimiz kadarıyla Lambert, Legendre ve Gauss üzerinde bu çalışmaların bir etkisi yoktur.

Adsız

 

Johan Heinrich Lambert (1728-1777) Saccheri’ ninkine benzer bir plan izledi. Çelişkiyi elde etmeden dar açı hipotezini inceledi. Lamber yeni geometrisinde bir üçgenin alanı azaltıldıkça açılarının toplamının da arttığı gerçeğini buldu.

 

 

 

Adrien-Marie Legendre (1752-1833) paralellik aksiyomu üzerinde yıllarca çalıştı ve onun emekleri Geometri’ nin Elementleri’ nde (Elements De Geometrie) gözükmektedir. Legendre araştırmalarında 5. aksiyomun bir üçgenin iç açılarının toplamının iki dik açı olduğuna eşdeğer olduğunu ispatladı. Legendre aynı zamanda araştırmalarında tutarlı ama genel kanının aksi olan birçok şey buldu ama tutarlı bir sistemde bu fikirleri bir araya getiremedi.

Paralellik Aksiyomu’ nu ifade edebilmek için Paralellik Aksiyomu’ nun bir çok sonucu düzlem geometrisindeki diğer 4 aksiyom ile birlikte alınarak mantıklı bir şekilde gösterilebilir. Örneğin aşağıdaki ifadelerin Paralellik Aksiyomu’ na eşdeğer olduğu kabul edilebilir:

  • Bir üçgende üç açının toplamı iki dik açıdır.
  • Bir üçgende dış açıların her biri iki içte birbirine komşu olmayan iki açının toplamına eşittir. 
  • İki paralel doğru çapraz olacak şekilde bir doğru tarafından kesilirse iç ters açılar birbirine eşit olur ve yöndeş açılarda eşit olur.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Adsız

Gauss paralellik problemini doğru bir şekilde anlayan ilk kişiydi. Diğer 4 tanesini kullanarak 5. aksiyom üzerinde çalışmaya başladı. Ama 1817′ ye kadar 5. aksiyomun diğer dördünden bağımsız olduğu konusunda ikna oldu ve verilen bir noktadan geçen ve verilen bir doğruya paralel olacak şekilde çizilebilecek birden fazla doğru olduğundan başlayarak geometri üzerinde çalışmaya başladı. Gauss çalışmalarını bir ya da iki yakın arkadaşına anlattı, onları hiç yayınlamamasına rağmen 1824 yılında özel bir mektupta aşağıdakileri yazmıştır:

Üç iç açının (bir üçgende) toplamının 180° den küçük olacağı varsayımı, bizimkinden farklı olan ilginç bir geometriyle sonuçlanmıştır ama tamamen tutarlıdır ve ben bundan memnunum.

Son atılım birbirinden oldukça bağımsız çalışan iki adam tarafından yapıldı. Bolyai ve Labochevski aynı konu üzerinde çalıştıklarının farkında değillerdi.

Adsız
Nikolai Ivanovich Lobachevski
(1792-1856) 5. aksiyomu ispatlamaya çalışmadı 5. aksiyomun kullanımı gerektirmeyen alanlarda çalışmalar yaptı. Labochevski Öklit geometrisini daha genel bir geometrinin özel bir durumu olarak düşündü ve bu nedenle daha garip ve alışılmamış olasılıklara daha açıktı. 1829′ da araştırmalarının ilk açıklamasını Rusya’ da Kazan Üniversitesi’ nin dergisinde yayınladı ama fark edilmedi. Onun orjinal çalışması Geometriya 1823′ te çoktan tamamlanmıştı ama 1909′ a kadar yayınlanmadı.

Lobachevski geometrisini açıkladı “Düzlemdeki bir noktadan çıkış yapan tüm doğrular iki sınıfa ayrılır-kesen ve kesmeyen. Tabi verilen nokta ve doğrular aynı düzlemdeler- Bir tanesinin sınır doğruları ve bu doğruların diğer sınıfı verilen doğruya paraleldir denilecek.

Kırmızı çizgi sınırdır ve BC doğrusuna “paraleldir”.

Lobachevski Diagram

Labochevski Geometriyle ilgili paralellik teorisi üzerine olan araştırmalarının fark edilmesini sağlamaya çalıştı. 1837′ de Fransızca bir raporu onun çalışmalarını geniş bir kitleye duyurdu ama matematiksel toplum bu fikirleri kabul etmemiştir.

 

 

 

                                                                                                 Labochevski Diyagramı

Jonas Bolyai (1802-1860) matematikçi Farkas Bolyai’ nin oğludur ve Gauss’ un arkadaşıdır. Farkas 5. aksiyom üzerinde çalışmıştır ama hiçbir yol alamamıştır.

 

Adsız

1823′ te genç Janos babasına “O kadar harika şeyler buldum ki hayretler içinde kaldım … Hiçbir şeyin dışında yeni bir dünya yarattım” diyerek yazmıştır. Bununla birlikte Jonas’ ın onu tamamlaması bunu yazdıktan sonra iki sene daha sürdü ve onun çalışması babasının ders kitabında ek bölüm olarak yayınlandı. Janos dar açı hipotezi durumunu kullanarak tutarlı bir geometri yapılacabileceğinin mümkün olduğunu gösterdi.

Jonas Bolyai 5. aksiyomun doğru olduğu durumunu bir kenara koyarak dik, geniş ve dar açı hipotezleri olmak üzere bu üç temel hipotezi araştırmaya başladı. Buna dayanarak iki geometri sistemi kurdu ve he iki sistemde de geçerli olan teoremleri araştırdı.

Janos Bolyai’ nin çalışmalarını genç dehaları bulan ve onlara itibar eden Gauss okumuştur. Bununla birlikte, Gauss daha sonra Jonas’a  bu keşiflerin bir kısmını kendisinin de birkaç yıl önce yaptığını söylemiştir ve Jonas çok kötü olmuştur. Daha sonra Jonas Labochevski’ nin çalışmalarını önceden tahmin ettiğini öğrendi ve bu onu daha fazla hayal kırıklığına uğrattı. Bazı orjinal fikirler sunarak matematik çalışmaya devam etti ama onun isteği kaçtı ve sağlığı bozuldu. Sonra da asla yayınlamadı.

Labochevski ve Bolyai şimdi Hiperbolik Geometri olarak adlandırdığımız şeyi buldular. Bu bir doğrunun artık düz bir doğru olmadığı ve bir noktadan geçen ve başka bir doğruyu kesmeyen bir çok doğrunun olabileceği dik açı hipotezinin geometrisidir. Bunu görselleştirmek çok zordur ve Öklit geometrisinin “doğru” olduğuna inanan insanlar için bu genel kurallara aykırıdır ve kabul edilemezdir.

Adsız

Beltrami 1868′ de aykırı kürenin yüzeyindeki Hiperbolik Geometri için ilk modeli yapana kadar birçok matematikçi bu yeni geometri stratejisini kabul etmememiştir.

 

 

 

 

 

AdsızAdsız

 

 

 

 

 

 

 

AdsızGitgide diğer modeller yeni fikirlerin daha çok güvence altına alınmasını sağlamıştır ve 1872′ de ünlü Alman matematikçi Flex Klein (1849-1925) farklı Küresel, Perspektif ve Hiperbolik Geometrisi’ ni aksiyomlarla ve belli dönüşümler atında değişmeyen özellikler ile birleştirerek geometriye karşı genel bir bakış oluşturmuştur. Böylece matematikçiler sonunda fiziksel dünya ile bağlantısı olmayan aksiyomlar, işlemler ve mantıksal kurallar olarak geometriyi özgürce kuramsal olarak çalışmaya başladılar.

Pedagojik notlar için: Bu makalenin üst kısmındaki notlar sekmesini kullanın ya da buraya tıklayın.

Notlar:

  1. Duvar kadranları icat edildi ve yıllarca gök cisimlerinin yüksekliklerini ölçmek için gökbilimciler tarafından kullanıldı. Eski gözlem evlerinin bir parçası olarak yapıldı ve kadranlar büyüdükçe duvarda sabit durmaları için duvarlara dayanmaları gerekiyordu. Bir araç ne kadar büyükse o kadar kesin sonuçlar elde edileceğine inanılıyordu. Bu araç ne kadar büyük olursa kadranları derecelere, dakikalara ve saniyelere bölmenin o kadar kolay olduğu doğruydu. Bununla beraber kesinliğin aracı görme gibi bağlı olduğu başka şeyler de vardı. Örneğin teleskoplar 18. yüzyılın başlarına kadar yeterince güvenilir değildi ve montaj yapılarak sabitlendiğinden dolayı sınırlı bir kullanımı olmuştur. Problemlere rağmen Arap gökbilimciler 20 saniyelik bir yayın doğruluğunu hesaplamayı başarmışlardır.

Wall quadrant

Yararlı Linkler

Bunlar hatası olmayan en güvenilir sitelerdir. Vikipedi’ de yapacağınız küçük bir araştırmayla bazı temel bilgilere ulaşabilirsiniz ama dikkatli olun. Diğer sitelere de bakıp kontrol etmek en iyisidir.

Tüm biyografik detaylar, Öklit dışı geometriye ait bilgileri veren özel sayfalar ve St Andrew Üniversitesi’ ndeki Matematik ve Sanat MacTutor Sitesi için aşağıdaki linke tıklayınız:

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/

Daha detaylı Astronomideki Matematiksel teknikler için Camridge Üniversitesi’ nin Yıldızlı Haberci (Starry Messenger) sayfasına gidiniz:

http://www.hps.cam.ac.uk/starry/starrymessenger.html

Cut-the-Knot sitesinin Öklit Dışı Geometri’ yi içeren çok güzel sayfaları var:

http://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/NonEuclid.shtml

Dartmut Koleji’ nde temeli atılan Sanat ve Mimarlık üzerine daha geniş çaplı bir dersin 11. bölümü Perspektifin Kökeni (The Origins of Pespective).

http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit11/unit11.html

Britannica ansiklopedilerine ya da Bilimsel Biyografi Sözlüğüne online giriş yapabilirseniz elbette ihtiyacınızı olan daha fazla bilgiye ulaşacaksınızdır.

Makaleler

Bize çeşitli kültürel bağlantıları çekiciliğiyle veren bazı kitaplar:

Michele Emmer, (1993) The Visual Mind (Görsel Akıl); Art and Mathematics MIT Press

J.L. Heilbron, (1998) Geometry Civilised (Uygarlaştırılan Geometri); History, Culture and Technique . Clarendon Press, Oxford.

Ve dikkat edilmesi gereken bir kitap:

Eleanor Robson and Jackie Stedall (Editors) (December 2008), The Oxford Handbook of the History of Mathematics (Matematik Tarihi’ nin Oxford El Kitabı). Oxford University Press

Kaynak:

  1. https://nrich.maths.org/6352
  2. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/51/Studying_astronomy_and_geometry.jpg
vexrobotics

1 YORUM

CEVAP VER

Please enter your comment!
Please enter your name here

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.